点线面之间的位置关系

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1、点、线、面之间的位置关系【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平

2、行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面

3、，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面

4、平行。4、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（2）定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角（1）范围：；（2）求法：计算

5、异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂

6、直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积

7、射影法）。七、空间距离的求法（立体几何中角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上

8、任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。【常见题型】题型一：点共线和共面问题【例1】如图正方体中，E、