实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc

《实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、......习题5参考解答（A组题）一、二、（略）三、计算题[]1、设P0为0,1中的三分Cantor（康托）集，f(x)=ì100,xÎPî0í，n,xÎEn,n=1,2,Lò其中En表示P0的n阶邻接区间的并集，求[0,1]f(x)dx。2n-1由康托集的构造知，En=Ii(n)，其中Ii(n)（i=1,2,L,2n-1）为P0的长度都是n且1U3i=1互不相交的n阶邻接区间。æ¥ö[][]U{}，且P0,E1,E2,L两两不由于f(x)是0,1的非负可测函数，0,1=P0UEnç÷èn=1ø相交，mP0=0，以¥åò[0,1]f(x)dx=òPf(x)dx+òEf(x)

2、dx0nn=1æön-1¥æ2n-1ö¥n2n-1=1¥2åååå=òf(x)dx=n=3。ç÷ç÷Ii(n)3n33èøèøn=1i=1n=1n=12、设[]ì1,xÎ0,1RïD(x)=[0,1]，í2,xÎR[0,1]ïî[]其中R[0,1]表示0,1中的有理数全体，求òD(x)dx。[0,1]解因为有理数集为零测集，所以，D(x)=1a.e.于[0,1]，于是ò[0,1]D(x)dx=ò[0,1]1dx=1。ìx23,xÎP0,xÎ[0,1]P0ï[]，其中P0为0,1中的三分康托集，求3、设f(x)=òf(x)dx。[0,1]íxïî[]a.e.于0,1，于是解

3、因为mP=0，所以，f(x)=x03dx=1。1ò[0,1]f(x)dx=ò[0,1]x3dx=ò0x34.专业.专注.......4、设ì1ìïí2,xÎ(0,1][],xÎ0,1Rïf(x)=x[0,1]，g(x)=x，íï4ïx,xÎR[0,1]0,x=0îî[]其中R[0,1]表示0,1中的有理数全体，求òf(x)dx和ò[0,1]g(x)dx，并由此说明[0,1]([])f(x),g(x)ÎL0,1。1[]a.e.于0,1，于是解因为mQ[0,1]=0，所以，f(x)=x111ò[0,1]f(x)dx=ò[0,1]dx=ò0dx=2。xx同理可得ò[0,1]g(x

4、)dx=4。nx[]5、设fn(x)=1+n2，xÎE=0,1，n=1,2,L，求limòfn(x)dx。E2xn®¥nxnx£1解因为limfn(x)=limx2=0，且fn(x)=1+n2x2，由有界控制收敛定1+nn®¥22n®¥理得，limn®¥òEfn(x)dx=òElimfn(x)dx=òE0dx=0。n®¥næxö6、设fn(x)=1+e-2x，xÎE=0,+¥，En=0,n，n=1,2,L，求[)[)ç÷ènø（1）limn®¥òfn(x)dx；（2）limn®¥òEfn(x)dx。En解（1）因为fn(x)³0，且fn(x)单调增加，limfn(x)=ex×

5、e-2x=e-x，所以由列{}n®¥-x+¥=1。+¥维定理，limn®¥òfn(x)dx=òEfn(x)dx=ò0e-xdx=-eE0µn{}En（2）令f(x)=fn(x)cE(x)³0，由于fn(x)单调增加，limfn(x)=e-x且c(x){}nn®¥{}µ{}[)单调增加，limcE(x)=1（因为E单调增加，limEn=0,+¥），所以f(x)单调增nnn®¥nn®¥µ加，lim()fx=e-x，由列维定理，nn®¥-xdx=-e-x+¥=1。òEfn(x)dx=òEµfn(x)dx=ò0+¥elimn®¥0n.专业.专注.......1()7、设fn(x)=，

6、xÎE=0,+¥，n=1,2,L，求limòfn(x)dx。En1æ1+xön®¥xnçè÷nø解当n³2时，ì11,0

7、)=ln(x+n)e-xcosx，xÎE=0,+¥，n=1,2,L，求limn®¥òEfn(x)dx。[)nln(x+n)解易见limf(x)=lime-xcosx=0，且nnn®¥n®¥fn(x)=ln(x+n)e-xcosx£(x+1)e-x，而(x+1)e-xÎL(E)。n由Lebesgue控制收敛定理limn®¥òòEfn(x)dx=limfn(x)dx=òE0dx=0。En®¥1nx23[]nx，xÎE=0,1，n=1,2,L，求limn®¥òEfn(x)dx。9、设fn(x)=1+nx2si