实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc

实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc

ID:48502626

大小:2.99 MB

页数:23页

时间:2020-02-05

实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc_第1页
实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc_第2页
实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc_第3页
实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc_第4页
实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc_第5页
资源描述:

《实变函数课后答案(何穗刘敏思)习题5参考答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、......习题5参考解答(A组题)一、二、(略)三、计算题[]1、设P0为0,1中的三分Cantor(康托)集,f(x)=ì100,xÎPî0í,n,xÎEn,n=1,2,Lò其中En表示P0的n阶邻接区间的并集,求[0,1]f(x)dx。2n-1由康托集的构造知,En=Ii(n),其中Ii(n)(i=1,2,L,2n-1)为P0的长度都是n且1U3i=1互不相交的n阶邻接区间。æ¥ö[][]U{},且P0,E1,E2,L两两不由于f(x)是0,1的非负可测函数,0,1=P0UEnç÷èn=1ø相交,mP0=0,以¥åò[0,1]f(x)dx=òPf(x)dx+òEf(x)

2、dx0nn=1æön-1¥æ2n-1ö¥n2n-1=1¥2åååå=òf(x)dx=n=3。ç÷ç÷Ii(n)3n33èøèøn=1i=1n=1n=12、设[]ì1,xÎ0,1RïD(x)=[0,1],í2,xÎR[0,1]ïî[]其中R[0,1]表示0,1中的有理数全体,求òD(x)dx。[0,1]解因为有理数集为零测集,所以,D(x)=1a.e.于[0,1],于是ò[0,1]D(x)dx=ò[0,1]1dx=1。ìx23,xÎP0,xÎ[0,1]P0ï[],其中P0为0,1中的三分康托集,求3、设f(x)=òf(x)dx。[0,1]íxïî[]a.e.于0,1,于是解

3、因为mP=0,所以,f(x)=x03dx=1。1ò[0,1]f(x)dx=ò[0,1]x3dx=ò0x34.专业.专注.......4、设ì1ìïí2,xÎ(0,1][],xÎ0,1Rïf(x)=x[0,1],g(x)=x,íï4ïx,xÎR[0,1]0,x=0îî[]其中R[0,1]表示0,1中的有理数全体,求òf(x)dx和ò[0,1]g(x)dx,并由此说明[0,1]([])f(x),g(x)ÎL0,1。1[]a.e.于0,1,于是解因为mQ[0,1]=0,所以,f(x)=x111ò[0,1]f(x)dx=ò[0,1]dx=ò0dx=2。xx同理可得ò[0,1]g(x

4、)dx=4。nx[]5、设fn(x)=1+n2,xÎE=0,1,n=1,2,L,求limòfn(x)dx。E2xn®¥nxnx£1解因为limfn(x)=limx2=0,且fn(x)=1+n2x2,由有界控制收敛定1+nn®¥22n®¥理得,limn®¥òEfn(x)dx=òElimfn(x)dx=òE0dx=0。n®¥næxö6、设fn(x)=1+e-2x,xÎE=0,+¥,En=0,n,n=1,2,L,求[)[)ç÷ènø(1)limn®¥òfn(x)dx;(2)limn®¥òEfn(x)dx。En解(1)因为fn(x)³0,且fn(x)单调增加,limfn(x)=ex×

5、e-2x=e-x,所以由列{}n®¥-x+¥=1。+¥维定理,limn®¥òfn(x)dx=òEfn(x)dx=ò0e-xdx=-eE0µn{}En(2)令f(x)=fn(x)cE(x)³0,由于fn(x)单调增加,limfn(x)=e-x且c(x){}nn®¥{}µ{}[)单调增加,limcE(x)=1(因为E单调增加,limEn=0,+¥),所以f(x)单调增nnn®¥nn®¥µ加,lim()fx=e-x,由列维定理,nn®¥-xdx=-e-x+¥=1。òEfn(x)dx=òEµfn(x)dx=ò0+¥elimn®¥0n.专业.专注.......1()7、设fn(x)=,

6、xÎE=0,+¥,n=1,2,L,求limòfn(x)dx。En1æ1+xön®¥xnçè÷nø解当n³2时,ì11,0

7、)=ln(x+n)e-xcosx,xÎE=0,+¥,n=1,2,L,求limn®¥òEfn(x)dx。[)nln(x+n)解易见limf(x)=lime-xcosx=0,且nnn®¥n®¥fn(x)=ln(x+n)e-xcosx£(x+1)e-x,而(x+1)e-xÎL(E)。n由Lebesgue控制收敛定理limn®¥òòEfn(x)dx=limfn(x)dx=òE0dx=0。En®¥1nx23[]nx,xÎE=0,1,n=1,2,L,求limn®¥òEfn(x)dx。9、设fn(x)=1+nx2si

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。