资源描述：
《实变函数论课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、成立1.证明：(B−A)∪A=B的充要条件是A⊂B.知x∈A⊂B，故x∈∩B，这说明∩A⊂∩B.λλλλλλ∈∧λ∈∧λ∈∧证明：若(B−A)∪A=B，则A⊂(B−A)∪A⊂B，故A⊂B成立.定理4中的（4）：∪(A∪B)=(∪A)∪∪(B).λλλλλ∈∧λ∈∧λ∈∧反之，若A⊂B，则(B−A)∪A⊂(B−A)∪B⊂B，又∀∈xB，若x∈A，'证：若x∈∪(A∪B)，则有λ∈∧，使λλ则λ∈∧x∈(B−A)∪A，若x∉A，则x∈B−A⊂(B−A)∪A.总有x∈(Aλ'∪Bλ')⊂(∪Aλ)∪∪(Bλ).λ∈∧λ
2、∈∧反过来，若x∈(∪A)∪∪(B)则x∈∪A或者x∈∪B.x∈(B−A)∪A.故λλλλλ∈∧λ∈∧λ∈∧λ∈∧'B⊂(B−A)∪A，从而有(B−A)∪A=B。证毕不妨设x∈∪Aλ，则有λ∈∧使x∈Aλ'⊂Aλ'∪Bλ'⊂∪(Aλ∪Bλ).λ∈∧λ∈∧c故(∪A)∪∪(B)⊂∪(A∪B).2.证明AB−=A∩B.λλλλλ∈∧λ∈∧λ∈∧c综上所述有∪(A∪B)=(∪A)∪∪(B).证明：∀∈xAB−，从而x∈Ax,∉B，故x∈Ax,∈B，从而∀∈xAB−，λλλλλ∈∧λ∈∧λ∈∧cc定理6中第二式(∩A)=
3、∪Ac.所以AB−⊂A∩B.λλλ∈∧λ∈∧c'另一方面，∀∈xA∩Bc，必有x∈Ax,∈Bc，故x∈Ax,∉B，从而证：∀∈x(∩A)，则x∉∩A，故存在λ∈∧，x∉A'所以λλλλ∈∧λ∈∧x∈AB−，cx∉A'⊂∪Acλλλ∈∧c所以A∩B⊂AB−.c从而有(∩Aλ)⊂∪Aλc.λ∈∧λ∈∧c综合上两个包含式得AB−=A∩B.证毕'c反过来，若x∈∪Ac，则∃λ∈∧使x∉A'，故x∉A'，λλλ3.证明定理4中的（3）（4），定理6（DeMorgan公式）中的第二式和定λ∈∧理9.c∴∉x∩A，从而x∈(∩
4、A)λλλ∈∧λ∈∧证明：定理4中的（3）：若A⊂B（λ∈∧），则∩A⊂∩B.λλλλλ∈∧λ∈∧c∴(∩Aλ)⊃∪Aλc.证毕λ∈∧λ∈∧证：若x∈∩A，则对任意的λ∈∧，有x∈A，所以A⊂B（∀λ∈∧）λλλλλ∈∧定理9：若集合序列AA1,2,…,An,…单调上升，即An⊂An+1（相应地⎧1⎫S=⎨;n=1,2,3,⋯⎬,⎩n⎭∞∞A⊃A）对一切n都成立，则lim=∪A（相应地）lim=∩A.nn+1nnn→∞n=1n→∞n=1⎧1⎫⎧⎧⎫1⎧1⎫⎫∞A=⎨;为奇数⎬,A=⎨{1,}⎨⎬,⋯,⎨⎬,⋯⎬,
5、问FA(),FA()是0101证明：若An⊂An+1对∀∈nN成立，则∩Ai=Am.故从定理8知⎩n⎭⎩⎩⎭3⎩2i−1⎭⎭im=∞∞∞什么.liminfA=∪∩A=∪Animn→∞m=1im=m=1解:若S={1,2,3,4,}A={{1,2,3,4}{}},则∞另一方面∀mn,，令S=∪A，从A⊂A对∀∈mN成立知mimm+1im=(){{}{}{}}FA=∅,1,2,3,4,1,2,3,4.∞∞∞∞S=∪A=A∪∪(A)⊂A∪∪(A)=∪A=S.故定理8表mimim+1iim+1im=im=+1im=+1i
6、m=+1⎧1⎫⎧1⎫⎧111⎫明若S=⎨;n=1,2,3,⋯⎬,A0=⎨;为奇数⎬=⎨1,,,⋯,⋯⎬,⎩n⎭⎩n⎭⎩352i−1⎭∞∞∞∞limsupA=∩∪A=∩S=S=∪A=liminfAnim1mnn→∞m=1im=m=1m=1n→∞c⎧111⎫⎧111⎫∞则从⎨1,,,⋯,⋯⎬=⎨,,⋯,⋯⎬,故limAn=limsupAn=liminfAn=∪Am.⎩352i−1⎭⎩242i⎭n→∞n→∞n→∞m=14.证明(AB−)∪B=(A∪B)−B的充要条件是B=∅.⎧⎧111⎫⎧111⎫⎫易知FA()=∅⎨,
7、,1,,,S⎨⋯,⋯⎬⎨,,,⋯,⋯⎬⎬.⎩⎩352i−1⎭⎩242i⎭⎭证：充分性若B=∅，则(AB−)∪B=(A−∅)∪∅=A−∅=A=A∪∅=A∪∅−∅⎧⎧⎫1⎧1⎫⎫A1=⎨{1,}⎨⎬,⋯,⎨⎬,⋯⎬.⎩⎩⎭3⎩2i−1⎭⎭必要性若(AB−)∪B=(A∪B)−B，而B≠∅则存在x∈B.⎧1⎫⎧1⎫令B=⎨;i=1,2,⋯⎬,C=⎨;i=1,2,⋯⎬.所以x∈(AB−)∪B=(A∪B)−B即所以x∈A∪Bx,∉B这与x∈B矛⎩2i−1⎭⎩2i⎭盾，�FA{1}=∅{,S}∪{A∪KAB为的子集，K=C或K
8、=∅}≜A.所以x∈B.4.设S={1,2,3,4,}A={{1,2,3,4}{}},求FA().又如果⎧⎫1⎧1⎫证明:因为{1,}⎨⎬,⋯,⎨⎬,⋯∈AB,的任何子集FA().1⎩⎭3⎩2i−1⎭c所以有B∈FA(1),而B=C,故C∈FA(1),又∅∈FA(1).故�A是σ−域,且FA(1)=�A.证毕.任取B的一子集A,A∪∅=A∈FA(),且AC∪∈FA().1
