实变函数 课后答案 (何穗 刘敏思)习题1参考答案.pdf

《实变函数 课后答案 (何穗 刘敏思)习题1参考答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题1解答（A组题）一、选择题1、C；2、A；3、D；4、C；5、C；6、A；7、A；8、B；9、D；10、C二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×；10、×三、填空题1、＝；2、∅；3、(0,1)；4、[−1,1]；5、E∪FE,∩F；6、(−2,3)；7、≥；8、c9、设有两个集合A和B，若A≤B，A≥B，则A=B。四、证明题CCCC1、（1）A(AB)=A∩(A∩B)=A∩(A∪B)=(A∩A)∪(A∩B)=A∩B；CCCC（2）(AB)∩(CD)=(A∩B)∩(C∩D

2、)=(AC∩)∩(B∩D)C=(AC∩)∩(B∪D)=(AC∩)(B∪D)。CC⎛∞∞⎞⎛∞∞⎞⎛∞⎛∞⎞⎞2、AlimBn=A⎜∩∪Bn⎟=A∩⎜∩∪Bn⎟=A∩⎜∪∪⎜Bn⎟⎟n→∞⎜⎟⎝N=1nN=⎠⎝N=1nN=⎠⎝N=1⎝nN=⎠⎠⎛∞⎛∞⎞⎞∞⎛⎛∞⎞⎞∞∞CCC=A∩⎜∪∩⎜Bn⎟⎟=∪⎜A∩⎜∩Bn⎟⎟=∪∩(A∩Bn)=lim(ABn)。⎝N=1⎝nN=⎠⎠N=1⎝⎝nN=⎠⎠N=1nN=n→∞同理可证第2个集合等式。3、当A=∅时，{∅}张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{∅,X

3、}。当A=X时，{X}张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{∅,X}。当A为X的非空真子集时，{A}张成的环和σ-环均为{∅,A}；张成的代数和σ-代c数均为{∅,,AAX,}。⎡π⎤4、首先，令fx()=tan⎢(1−x)⎥，由于fx()是(0,1)上的严格单调递减的连续函数，⎣2⎦且f((0,1))=(0,+∞)，所以fx()是(0,1)到(0,+∞)的一一映射。其次，取自然数集N⊂(0,+∞)，再作1g:0,(+∞→)[0,+∞)⎧x−1,x∈N，x↦gx()=⎨⎩x,x∈(0,+∞)N则g是(0,+∞)到[0,+∞

4、)的一一映射。最后，取T=gfx�()，则T即为所求。5、由C⊂BA,∼C知，A≤B；由B⊂AB,∼B知，B≤A。所以，由伯恩斯坦定理知A=B，即A∼B，故A∼B∼C。6、（1）设直线上端点为有理数的开区间的全体为集合A，记直线上的全体有理数为{aa1,2,⋯,an,⋯}，则A={(aai,j)ai

5、⋯,n−1,an∈Z{}}。显然A∼�������ZZ××⋯××Z(Z−{0,})n=1,2,⋯，由定理1.17知A可数。nnn个+∞⎛⎞又A=Z∪⎜∪An⎟，再由定理1.16知A可数。⎝n=1⎠（3）因任何自然数、有理数都是代数数，因而代数数的全体必是无限集。由于整系数多项式全体为可数集，而每一整系数多项式又只能有有限个实根，故代数数全体可看作可数个有限集的并，所以为可数集。（4）设平面上顶点为有理坐标的三角形的全体为集合A，则2A={(xyz,,)xyz,,∈Q}，由此知A中任一元素由互相独立的xyz,,唯一决定，且

6、xyz,,各自跑遍一个可数集，所以由定理1.17的推论1.4知，A是可数集。7、（1）设无理数集为A，有理数集为Q，则AQ∪=R。又有理数集为可数集，所以A=AQ∪=R=c。（2）设超越数的全体为A，代数数的全体为B，则A∪B=R。又代数数的全体为可数集，所以A=A∪B=R=c。2（3）设E是[0,1]上的任一子集，作函数⎧1,x∈Eχ()x=⎨。E⎩0,x∉Ecc记这样的函数组成的集合为A，则A⊂A，又A=2，因此A≥2。00022又，对任意fx()∈A，则函数图象{(xfx,())x∈[0,1]}是R的一个子集。而R的c

7、c所有子集组成的集合的基数为2，因此A≤2。c由伯恩斯坦定理知A=2。8、（证明类似于第1章第1.5节的例2同理可得。）1对任意x∈⎡Exfx⎣()≥⎤a⎦，则fx()≥a，从而对任意的正整数k，fx()>−a，从k11而limfx()>−a。于是存在正整数N，当n>N时，fx()>−a，因此nnn→∞kk⎡1⎤x∈limExfx⎢()>−a⎥。nn→∞⎣k⎦∞⎡1⎤所以x∈∩limExfx⎢n()>−a⎥，即k=1n→∞⎣k⎦∞∞∞∞⎡1⎤⎡1⎤Exfx⎡⎣()≥⎤⊂a⎦∩limExfx⎢n()>−a⎥=∩∪∩Exfx⎢n

8、()>−a⎥。k=1n→∞⎣k⎦k=1N=1nN=⎣k⎦∞∞∞⎡1⎤反之，对任意x∈∩∪∩Exfx⎢n()>−a⎥，则对任意的正整数k，有k=1N=1nN=⎣k⎦∞∞⎡1⎤x∈∪∩Exfx⎢n()>−a⎥，N=1nN=⎣k⎦⎡1⎤⎡1⎤即x∈limExfx⎢()>−a⎥。从而存在正整数N，