2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（四）余弦定理的应用苏教版必修5.docx

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1、课时跟踪检测（四）余弦定理的应用层级一　学业水平达标1．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a>b>c，a20，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.2．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为anmile、2anmile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．3anmileB.anmileC

2、.anmileD.anmile解析：选B　根据题意，作出图形(图略)，得AB＝＝a(nmile)．3．如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定解析：选A　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．4．如果

3、等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：选D　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝＝，故选D.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选A　在△ABC中，∵cos2＝，∴＝＋，∴cosA＝.由余弦定理，知＝，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．6．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠

4、ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.解析：用余弦定理求得：AB2＝BD2＋AD2－2AD·BDcos135°，AC2＝CD2＋AD2－2AD·CDcos45°，即AB2＝BD2＋2＋2BD，①AC2＝CD2＋2－2CD，②又BC＝3BD，∴CD＝2BD.∴AC2＝4BD2＋2－4BD.③又AC＝AB，∴由③得2AB2＝4BD2＋2－4BD.④④－2×①得，BD2－4BD－1＝0.∴BD＝2＋.答案：2＋7．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1k

5、m，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.答案：68．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________小时．解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则A

6、D＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为小时．答案：9．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△AD

7、B中，∠ADB＝30°，则BD＝x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.10．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解：设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA，即142＝102＋x2－20xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝

8、16.在△BCD中，由正弦定理得＝，∴BC＝＝8.层级二　应试能力达标1．在△ABC中，三边上的高依次为，，，则△ABC为(　　)A．锐角三角形　　　　　B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形解析：选C　设△ABC的内角A