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《（通用版）2020版高考数学复习专题四数列4.2数列解答题练习理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.2 数列解答题命题角度1等差、等比数列的判定与证明 高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明 由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1
2、-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.2.(2014全国Ⅱ·17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明1a1+1a2+…+1an<32.解 (1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32
3、,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n-1.于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32.所以1a1+1a2+…+1an<32.典题演练提能·刷高分1.(2019江西临川第一中学高三下学期考前模拟)已知数列{an}中,a1=m,且an+1=3an+2n-1,bn=an+n(n∈N*).(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(2)当m=2时
4、,求数列{(-1)nan}的前2020项和S2020.解 (1)∵an+1=3an+2n-1,∴bn+1=an+1+n+1=3an+2n-1+n+1=3(an+n)=3bn.①当m=-1时,b1=0,数列{bn}不是等比数列;②当m≠-1时,数列{bn}是等比数列,其首项为b1=m+1≠0,公比为3.(2)由(1)且当m≠-1时,有bn=an+n=3×3n-1=3n,即an=3n-n,∴(-1)nan=(-3)n-(-1)nn.∴S2020=-3×[1-(-3)2020]1-(-3)-[(-1+2)+(-3+4)+…+(-2019+2020)]=-3+32
5、0214-1010=32021-40434.2.(2019重庆一中高三下学期5月月考)已知数列{an}满足:an≠1,an+1=2-1an(n∈N*),数列{bn}中,bn=1an-1,且b1,b2,b4成等比数列.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)若Sn是数列{bn}的前n项和,求数列1Sn的前n项和Tn.(1)证明 bn+1-bn=1an+1-1-1an-1=12-1an-1-1an-1=anan-1-1an-1=1,所以数列{bn}是公差为1的等差数列.(2)解 由题意可得b22=b1b4,即(b1+1)2=b1(b1+3),∴b1=1.故b
6、n=n.所以Sn=n(n+1)2.所以1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1.所以Tn=2×1-12+12-13+…+1n-1n+1=2×1-1n+1=2nn+1.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1
7、,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,①-②得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×2-2n-1×21-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.设a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解 (1)由题知bn+1+2b
8、n+2=2bn+2+2bn+2=2,又∵b1=a2-a1=4-2=
