（通用版）2020版高考数学大二轮复习专题突破练26圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题理.docx

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1、专题突破练26　圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2019北京房山区高三第一次模拟测试)已知椭圆x24+y23=1,过坐标原点O做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于M,N两点.(1)求椭圆的离心率;(2)求证:点O到直线MN的距离为定值.2.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试一)已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C的方程;(2)设A1,A2分别为C的左、右顶点,P为C异于A1,A2的一点,直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆

2、D经过两个定点.3.(2019山东日照高三5月校际联合考试)如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(4,0)是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且cos=21313,

3、OC-OB

4、=2

5、BC-BA

6、.(1)求椭圆E的方程.(2)过椭圆E右焦点F的直线,交椭圆E于A1,B1两点,交直线x=8于点M,判定直线CA1,CM,CB1的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.4.(2019江西新八校高三第二次联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),c=3,左、右焦点为F1

7、,F2,点P,A,B在椭圆C上,且点A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率的乘积为-14.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点Q(2,2),且与椭圆C交于不同的两点M,N,若

8、QM

9、

10、QN

11、=163,判断直线l的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.5.(2019山东青岛高考模拟检测)已知O为坐标原点,点F1(-2,0),F2(2,0),S(32,0),动点N满足

12、NF1

13、+

14、NS

15、=43,点P为线段NF1的中点,抛物线C:x2=2my(m>0)上点A的纵坐标为6,OA·OS=66.(

16、1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C的准线上一点Q满足OP⊥OQ,试判断1

17、OP

18、2+1

19、OQ

20、2是否为定值?若是,求这个定值;若不是,请说明理由.6.(2019河南重点高中高三4月联合质量检测)已知点O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,通径长(即过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长)为3,短半轴长为3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过点F1的直线l与椭圆C相交于E,D两点,线段ED上存在一点I到F2E,F2D两

21、边的距离相等,若(F2D-ID)·F2E

22、F2I

23、·

24、F2E

25、<22,问直线l的斜率是否存在?若存在,求直线l的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案专题突破练26　圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解由椭圆的方程x24+y23=1,可得a=2,b=3,∴c2=a2-b2=1.∴椭圆的离心率e=ca=12.(2)证明当直线MN的斜率不存在时,∠MON=90°,不妨设M(x0,x0),则有N(x0,-x0).又M,N两点在椭圆上,∴x024+x023=1,∴x02=127.∴点O到直线MN的距离d

26、=127=2217.当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0.设M(x1,y1),N(x2,y2).∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.∴(k2+1)·4m2-123+4k2-8k2

27、m23+4k2+m2=0.整理得7m2=12(k2+1),满足Δ>0,∴点O到直线MN的距离d=

28、m

29、k2+1=127=2217.综上所述,点O到直线MN的距离为定值2217.2.(1)解设C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),因为离心率为2,所以c=2a,b=3a.所以C的渐近线为3x±y=0,不妨取其中一条3x+y=0.由3=

30、3c-0

31、(3)2+12,得c=2.于是a=1,b=3,故双曲线C的方程为x2-y23=1.(2)证明设P(x0,y0)(x0≠±1),因为A1(-1,0),A2(1,0),可

32、得直线A1P与A2P的方程分别为y=y0x0+1(x+1),y=y0x0-1(x-1).由题设,所以M0,y0x0+1,N0,-y0x0-1,

33、MN

34、=2x0y0x02-1,MN中点坐标0,y01-x02,于是圆D的方程为x2+y-y01-x022=x02y02(x02-1)2.因为x02-y023=1,所以圆D的方程可化为x2+y2+6y0y-3=0.当y=0时,x=±