2019_2020学年高中数学第1章导数的计算课时作业4几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式新人教A版.docx

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1、课时作业4　几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式知识点一求导公式的直接运用1.若y＝cos，则y′＝(　　)A．－B．－C．0D.答案　C解析　因为y＝cosπ＝－是常数函数，常数函数的导数为0，故选C.2．下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′

2、x＝3＝－；④′＝.其中正确的有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个答案　C解析　因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；因为sin＝，而′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以y′

3、x＝3＝－，所以③正确；因为′＝＝，所以④正确．3．已知

4、f(x)＝，g(x)＝mx，且g(2)＝，则m＝________.答案　－2解析　f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，g(2)＝2m，∵g(2)＝，∴2m＝－4，∴m＝－2.知识点二利用导数公式求切线方程4.过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)A.B.或C.D.答案　B解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.5．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3答案　A解析　设函数y

5、＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝>0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(

6、x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.一、选择题1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．不确定答案　B解析　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有2条．2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于(　　)A．2B．－2C．3D．－3答案　A解析　若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2，适合条件，故选A.3．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x(　　)A．在[0，＋∞)上f(x)比

7、g(x)增长的快B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快D．以上都不对答案　D解析　函数的导数表示函数的增长速度，由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.若2x>2即x>1时，f(x)增长速度比g(x)增长速度快，若2x<2即x<1时，f(x)比g(x)增长速度慢，在x＝1时两者增长速度相同．故选D.4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2答案　C解析　∵y＝lnx的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(

8、2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.5．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)A．1B.C.D.答案　B解析　依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－.故P点的坐标为，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.二、填空题6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是______，切线方程为_

9、_______．答案　　x－ey＝0解析　∵y′＝(lnx)′＝，∴y′

10、x＝e＝.∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.答案　1解析　因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.解得x＝1或x＝－，因为x>0，所以x＝1.8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为_______．答案　解析　对y＝xn＋1

11、(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－