高中数学 课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式 新人教a版选修

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1、课时跟踪检测(三)　几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、选择题1．函数y＝x3cosx的导数是(　　)A．y′＝3x2cosx＋x3sinxB．y′＝3x2cosx－x3sinxC．y′＝3x2cosxD．y′＝－x3sinx解析：选B　y′＝(x3cosx)′＝(x3)′cosx＋x3(cosx)′＝3x2cosx＋x3(－sinx)＝3x2cosx－x3sinx，故选B.2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　)A．f(x)＝x3B．f(x)＝

2、x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1解析：选B　由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．3．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)A．3B．2C．1D.解析：选A　因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.解析：选B　y′＝＝，把x＝代入，得导数值为，即为所求切线的斜率．5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a

3、的值为(　　)A．1B．±1C．－1D．－2解析：选A　设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导，得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.二、填空题6．(江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析：因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋lnx(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.答案：27．已知函数f(x)＝f′co

4、sx＋sinx，则f＝________.解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1，∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.答案：18．若曲线f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝＋a，∵曲线f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴＋a＝2有解，即＝2－a有解．又∵x>0，∴2－a>0，∴a<2.答案：(－∞，2)三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xsinx

5、；(2)y＝(x2＋3)(ex＋lnx)；(3)y＝.解：(1)y′＝(3x2)′＋(xsinx)′＝6x＋sinx＋x(sinx)′＝6x＋sinx＋xcosx.(2)y′＝(x2＋3)′(ex＋lnx)＋(x2＋3)(ex＋lnx)′＝2x(ex＋lnx)＋(x2＋3)＝ex(x2＋2x＋3)＋2xlnx＋x＋.(3)y′＝′＝＝.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：因为

6、f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b.又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－，则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又因为f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.