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《浙江专用2020版高考数学大一轮复习高考解答题专项练4立体几何.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考解答题专项练——立体几何1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,点P在线段AC1上,且AP=2PC1,M为线段AC的中点.(1)证明:BM∥平面B1CP;(2)求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值.(1)证明连接BC1交B1C于点F,连接MC1交CP于点N,连接FN,∵四边形BCC1B1是矩形,∴F为BC1的中点.取AP的中点Q,连接MQ,∴MQ是△APC的中位线.∴MQ∥PC.又AP=2PC1,∴C1PC1Q=12.∴C1NC1M=C1PC1Q=12,即N为C1M的中点.∴FN为△C1BM的中位线,∴FN∥BM.又
2、FN⊂平面B1CP,BM⊄平面B1CP,∴BM∥平面B1CP.(2)解连接MF,过点M作MG⊥CP于点G,连接FG,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面ACC1.∵BM∥FN,∴FN⊥平面ACC1.∴FN⊥MG.又MG⊥PC,FN∩PC=N,∴MG⊥平面B1PC.又AB1∥MF,∴∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成的角.∵AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,∴AB1=22,CM=12AC=3.∴MF=2,MG=2217.∴FG=147.∴cos∠MFG=FGMF=77.∴直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值为77.2.在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点
3、,AB=AD,BD⊥DC.(1)求证:AE⊥BD.(2)若DB=2DC=2AB=2,且二面角A-BD-C为60°,求AD与面BCD所成角的正弦值.(1)证明如图,取BD的中点F,连EF,AF,∵E为BC中点,F为BD中点,∴FE∥DC.又BD⊥DC,∴BD⊥FE.∵AB=AD,∴BD⊥AF.又AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AFE,∴BD⊥平面AFE.∵AE⊂平面AFE,∴AE⊥BD.(2)解由(1)知BD⊥AF,∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角,∴∠AFE=60°.∵AB=AD=2,DB=2,∴△ABD为等腰直角三角形.∴AF=12BD=1,又FE=12DC=1
4、2,∴AE2=AF2+FE2-2AF·FE·cos∠AFE=1+14-2×1×12×cos60°=34,即AE=32,∴AE2+FE2=1=AF2.∴AE⊥FE.又由(1)知BD⊥AE,且BD∩FE=F,BD⊂平面BDC,FE⊂平面BDC,∴AE⊥平面BDC,∴∠ADE就是AD与平面BCD所成的角,在Rt△AED中,AE=32,AD=2,∴AD与平面BCD所成角的正弦值sin∠ADE=AEAD=64.3.如图,已知ABCD是矩形,M,N分别为边AD,BC的中点,MN与AC交于点O,沿MN将矩形MNCD折起,设AB=2,BC=4,二面角B-MN-C的大小为θ.(1)当θ=9
5、0°时,求cos∠AOC的值;(2)当θ=60°时,点P是线段MD上一点,直线AP与平面AOC所成角为α.若sinα=147求线段MP的长.解设E为AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)如图,当θ=90°时,A(2,-1,0),C(0,1,2),∴OA=(2,-1,0),OC=(0,1,2),∴cos∠AOC=OA·OC
6、OA
7、
8、OC
9、=-15.(2)如图,当θ=60°时,C(1,1,3),D(1,-1,3),M(0,-1,0),∴MD=(1,0,3),设MP=λMD(0≤λ≤1),则OP=OM+MP=(λ,-1,3λ),∴AP=OP-OA=(λ-2,0,3λ)
10、.设平面AOC的法向量为n=(x,y,z),∵n·OA=0,n·OC=0,∴2x-y=0,x+y+3z=0,取n=(1,2,-3),由题意,得AP·n
11、AP
12、
13、n
14、=147,即3λ2-10λ+3=0,∴λ=13或λ=3(舍去).∴在线段MD上存在点P,且MP=13MD=23.4.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是最短侧棱PC上的动点.(1)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(2)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.解(1)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.证明如下:由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC
15、⊥底面ABCD,且PC=2.连接AC,∵四边形有ABCD是正方形,∴BD⊥AC.∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC.又AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC,∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(2)如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而DA=(0,1,0),DE=(-1,0,1),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1).设平面ADE和
