高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法2.2.1综合法课堂导学案新人教选修.docx

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1、2.2.1综合法课堂导学三点剖析一,利用综合法证明不等式【例1】(1)若a>0,b>0,求证:≥a+b.思路分析:主要利用不等式≥和a2+b2≥2ab.证明:由a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2.∴≥=a+b.(2)设a,b,c都是正数，求证:(a+b+c).思路分析:主要利用不等式.证明:由不等式a2+b2≥.∴≥.同理,（a+b+c）各个击破类题演练1已知a,b,c∈(0,+∞),且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2≥(a-b+c)2.证明:左边-右边=

2、2(ab+bc-ac).∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.又∵a,b,c∈(0,+∞),∴00.∴2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,∴a2+b2+c2>(a-b+c)2.变式提升1若a,b,c是正数，能确定与的大小吗？解析:∵+(b+c)≥4a,+(c+a)≥4b,+(a+b)≥4c,∴++≥2(a+b+c),即≥.二、用综合法证明条件不等式【例2】已知a,b,c>0,且abc=1,求证:≤++.证明：∵a,b,c>0,且abc=1,∴+≥,+≥,+≥

3、.∴2(++)≥2().∴++≥.温馨提示在证明含有条件的不等式时,用好条件往往是证题的关键,在本题中抓住了abc=1这一关键,从而与要证的不等式建立了联系.类题演练2已知a,b,c是正数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.证明:(-1)(-1)(-1)==8.变式提升2(1)已知a,b是正数,且a+b=1.求证:(ax+by)(ay+bx)≥xy.(2)若x+3y-1=0,求证:2x+8y≥.证明:(1)左边=(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=［(a+b)2-2ab］xy+ab(x2+y2)=(1

4、-2ab)xy+ab(x2+y2)=xy+ab(x-y)2,∵a>0,b>0,(x-y)2≥0,∴左边≥xy=右边.因此不等式成立.(2)2x+23y≥.三、与函数,数列,解析几何等知识相结合的不等式证明问题【例3】数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=(xn+),n∈N.(1)证明对n≥2,总有xn≥;(2)证明对n≥2,总有xn≥xn+1.证明：(1)由x1=a>0及xn+1=(xn+),可归纳证明xn>0,从而有xn+1=(xn+)≥(n∈N)(均值不等式的应用——综合法),所以,当n≥2时,xn≥成立.

5、(2)证法一:当n≥2时,因为xn≥>0,xn+1=(xn+),所以xn+1-xn=(xn+)-xn=·≤0,故当n≥2时,xn≥xn+1成立.证法二:当n≥2时,因为xn≥>0,xn+1=(xn+),所以=1,故当n≥2时,xn≥xn+1成立.温馨提示涉及不等式证明的问题是高考的一个热点,它往往与其他章节的知识如函数,数列,导数,解析几何等知识结合,尤其是函数和数列.类题演练3已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤;(2)当0

6、,

7、f(x)

8、≤1的充要条件.(1)证明:依题设,对任意x∈R,都有f(x)≤1,∵f(x)=-b(x-)2+,∴f()=≤1.∵a>0,b>0,∴a≤.(2)解析:因为a>0,00,0

9、f(x)

10、≤1的充要条件是a≤b+1.变式提升3已知a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2

11、+c2<2(ab+bc+ca).证法一:由余弦定理得a2+b2+c2=(b2+c2-2bccosA)+(c2+a2-2accosB)+(a2+b2-2abcosC),∴a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.∵cosA<1,cosB<1,cosC<1,∴a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).证法二:∵

12、a-c

13、

14、b-c

15、

16、a-b

17、