高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法2.2.2分析法课堂导学案新人教选修

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1、2.2.2分析法课堂导学三点剖析一,利用分析法证明不等式【例1】(1)设a>b>0,求证:.(2)已知0<α<π,证明2sin2α≤cot,并指出等号成立的条件.证明：(1)要证,∵a>b>0,有>0,∴需证()3>()3,展开得a-b>a-+,即证明>0,也就是证>0,在题设条件下这一不等式显然成立,∴原不等式成立.(2)要证2sin2α≤cot,由0<α<π知sinα>0,只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin2αcosα-(1+cosα)≤0,也就是证(1+cosα)［4(1-cosα)cosα-1］≤0,而1+co

2、sα>0,于是只要证-4cos2α+4cosα-1≤0,即-(2cosα-1)2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的.∴2sin2α≤cot,等号在2cosα=1,α=时取得.各个击破类题演练1若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logac+logbc≥4lgc.证明:由于a>1,b>1,要证logac+logbc≥4lgc,需证≥4lgc,而lgc>0,因此只要证≥4,即证≥4.∵ab=10,有lga+lgb=1,于是只需证lga·lgb≤,而lga·lgb≤()2=.∴不等式logac+logbc≥4lgc成立.变式提

3、升1已知a>0,->1,求证:.证明:要证,只要证,即证(1+a)(1-b)>1,就是证a-b-ab>0.①而已知条件a>0,->1b>0,且a-b>ab,可知①式成立,∴成立.二、分析法和综合法的综合运用【例2】a>0,b>0,a≠b,且a3-b3=a2-b2,求证:11是件容易的事,如何证a+b<呢?用综合法难以下手,我们用分析法来证.证明:∵a3-b3=a2-b2,∴a2+ab+b2=a+b(∵a≠b).①∴(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=(a+b).∴a+

4、b>1.②要证a+b<,需证3(a+b)<4,于是证3(a+b)2<4(a+b).又由①式可知,必须证3(a2+b2+2ab)<4(a2+ab+b2),然后证a2-2ab+b2>0,即证(a-b)2>0,而这一结论在a≠b时是恒成立的.∴a+b<.③由②③知10,b>0,求证:(a+)2+(b+)2≥.证明:要证(a+)2+(b+)2≥,只要证(a2+b2)+(+)+4≥,只要证

5、(a2+b2)+(+)≥.∵ab≤()2=,∴≥4.∴+≥≥8.又∵a2+b2≥=,∴(a2+b2)+(+)≥.∴(a+)2+(b+)2≥.当且仅当a=b时，取等号.变式提升2已知x>0,y>0,求证:(x2+y2)>(x3+y3).证法一:要证(x2+y2)>(x3+y3),只要证(x2+y2)3>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6.∵x>0,y>0,即证3x2+3y2>2xy,∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,即3x2+3y2>2xy,∴(x2+y2)>(x3+y3).以上证法显然是分析法

6、.倒着写回去就是综合法.证法二:由x>0,y>0,∴3x2+3y2>x2+y2≥2xy,即3(x2+y2)x2y2>2xy·x2y2.∴3x4y2+3x2y4>2x3y3.两边都加上x6+y6,得x6+y6+3x4y2+3x2y4>x6+y6+2x3y3,即(x2+y2)3>(x3+y3)2.两边开6次方得(x2+y2)>(x3+y3).三、多种证明方法的比较【例3】已知a>0,b>0,求证:.分析一:比较法是证明不等式的最基本的方法.作差后,注意到,提出公因式a-b,即可证明此不等式.证法一：∵a>0,b>0,∴()-()=()+()=≥0

7、.∴.分析二:此不等式中含有根式,因此可以考虑先去根式再予以证明.事实上,两边平方即可去根式.证法二:∵a>0,b>0,∴要证明,只需证明()2≥()2,展开得,即≥a+b.①注意到a>0,b>0,上式变形得a3+b3≥ab(a+b),即(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b),两边除以a+b,得a2-ab+b2≥ab,即(a-b)2≥0.此式显然成立,∴.分析三:对根式进行整体换元,也可达到去掉根式的目的.证法三:令=c,=d,∵a>0,b>0,∴c>0,d>0,原不等式即≥c+d.②②式与证法二中的①式结构完全相同,故后面的证明从略

8、.分析四:注意到所证不等式左边是分式,而右边为整式,故还可考虑去分母,转化为整式不等式再予以证明.证法四:∵a>0,b>0,∴要证不等式,只需证明()3+()3≥(