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《高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法知识导学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二综合法与分析法知识梳理1.综合法一般地,从已知条件出发,利用定义,公理,定理,性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做________,又叫________或________.2.分析法证明命题时,我们还常常从要证的________出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为________或________(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做________,这是一种________的思考和证明方法.分析法是探求命题结论成立的________条件
2、,用分析法证明不等式的逻辑关系是(________)BB1B2B3B4…A(________).知识导学综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式.使用分析法通常采用“欲证——只需——已知”的格式,在表达中一定要十分重视符号“”的方向,使用规范的表述方式.综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单,条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思想,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综
3、合法相互转换,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.有时解题需要一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称为两头挤法.两头挤法充分表明分析与综合的相互关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.疑难突破1.综合法在应用中的有关问题用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式,函数的单调性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论.首先是综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些重要不等式.比如下面的几个,是经常使用到的:①若a,b,c∈R+,则有;②若a,b
4、,c∈R,则有a2+b2+c2≥ab+bc+ca;③若,b∈R+,则有(a+b)(+)≥4.选择使用哪个重要不等式作为证题的“原始出发点”或对已知条件的转化是证题的关键,这要求对要证明的结果有充分的分析过程,可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.比如证明sinx+≥5,x∈(0,］,并不是使用重要不等式a+≥2(a∈R+)的,而是利用到了正弦sinx的有界性,以及形如y=x+的结构,联想函数y=x+的单调性,利用其单调性求证的.这些说明,使用综合法证题,必须积累一定的证题经验,还要记忆一些数学式子的
5、独特结构,以便在证明过程中使我们能联想起一些证题的“蛛丝马迹”或“指路明灯”.2.“”“”“”符号的使用“”往往在综合法中使用这种符号,是由“已知”推出“结论”的意思.而“”是逆向过程,是分析法中使用的符号,但为书写清晰起见,多用语言“要证……”,“只需证……”来叙述.“”是分析综合法的符号,即把要解的结论或结果采取等价变形的处理手段,变形出证明的依据或已知条件,这种证法简洁易于掌握,但往往只适用于证明一些明确告诉了的不等式.因此,我们可以借助符号“”的意义来解题,即用分析法分析,用综合法写解答过程.典题精讲【例1
6、】已知a,b∈R+且a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2≥.思路分析：证明不等式类似于证明等式那样,通常从较繁的一边向另一边化简,变形中要巧用已知条件,由于a,b的和为定值.因而可应用基本不等式去证明,首先应对不等式的左边变形和整理.证明：∵a,b∈R+且a+b=1,∴ab≤()2=,∴(a+)2+(b+)2=4+(a2+b2)+()=4+［(a+b)2-2ab］+=4+(1-2ab)+≥4+(1-2×)+.∴(a+)2+(b+)2≥.绿色通道：本题中条件a+b=1是解题的重点,由基本不等式的知识可联想知应由重要
7、不等式来变形出要证明的结论,本题a+b=1,也可以视为是“1”的代换问题,如下面的证法:左边=(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+()=4+a2+b2+=4+a2+b2+1++1=4+(a2+b2)+2+2(+)+()≥4++2+2×+2··=4++2+4+2=.因此,抓住“1”的代换,作为证明的一条线索也可以证明这个问题,即在综合法中,每一个题设条件所反馈出来的“信息”,都是至关重要的,也都有可能成为解题的突破口.【变式训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,求证:<++.思路分析：本题中abc=
8、1,是“1”的代换,但又理解为a,b,c之间的替换关系,因而解法不唯一.证法一:∵a,b,c∈R+,且互不相等，且abc=1，∴<.证法二:∵+≥;+≥;+≥.∴以上三式相加,得++≥.又∵a,b,c互不相等,∴++>.【例2】设a,b,c为△ABC的三条边,求证:a2+b2+c2<2ab+2bc+2ac.思路分析：本题看似是一道与公式a2+b
