高中数学第一章函数概念1.3函数的基本性质第3课时课堂探究学案.docx

《高中数学第一章函数概念1.3函数的基本性质第3课时课堂探究学案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.3函数的基本性质课堂探究探究一判断函数的奇偶性1．函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤为：(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(3)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(4)求f(－x)；(5)根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性．3．函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图

2、象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．【典型例题1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝思路分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解：(1)∵函数的定义域为{x

3、x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)由得x2＝

4、1，即x＝±1.∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)函数的定义域关于原点对称．方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．方法二：函数f(x)＝的图象如图．图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断f(－x

5、)与f(x)的关系，既可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，与1或－1的关系．(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．探究二利用函数的奇偶性求解析式对于偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)，对于奇函数f(x)有f(－x)＝－f(x)，

6、所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．【典型例题2】已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．思路分析：若x>0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x<0时的解析式．注意不要忽略x＝0时f(x)的解析式．解：当x<0时，－x>0

7、，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.所以f(x)的解析式为f(x)＝规律总结(1)这类问题常见的情形是：已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时f(x)的解析式．若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)．若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，

8、f(x)＝f(－x)＝φ(－x)．(2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，不能漏掉．探究三函数单调性与奇偶性的综合应用利用函数的单调性与奇偶性可以解一类抽象不等式问题．解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)

9、单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．思路分析：f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)