2020版高考数学第2章导数的应用第1课时导数与函数的单调性教学案理北师大版.docx

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1、第十一节　导数的应用[考纲传真]　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．1．导函数的符号和函数的单调性的关系(1)如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≥0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；(2)如果在

2、某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≤0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．函数的极值与导数(1)函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点．其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值和极值点：极大值与极小

3、值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．(4)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)．②求方程f′(x)＝0的根．③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值与导数(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．函数的最小值点也有类似的意义．(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．(3)最值：函数的

4、最大值和最小值统称为最值．(4)求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．[基础自测]

5、1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上是增加的，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　)(2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上，f(x)是增

6、加的B．在区间(1,3)上f(x)是减少的C．在区间(4,5)上f(x)是增加的D．当x＝2时，f(x)取到极小值C　[结合原函数与导函数的关系可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，∴y＝f(x)在(4,5)上是增函数，故选C.]3．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(　　)A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D　[∵f′(x)＝－sinx－1，∴当x∈(0，π)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数．]4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－

7、2C．4D．2D　[由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2，又当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，∴x＝2是f(x)的极小值点，即a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.]第1课时　导数与函数的单调性利用导数求函数的单调区间【例1】　(1)函数y＝x2－lnx的递减区间为(　　)A．(－1,1]　　　

8、　　　B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.①求a，b的值；②求f(x)的单调区间．(1)B　[∵y＝x2－lnx，∴x∈(0，＋∞)，y′＝x－＝.由y′≤0可