2021版高考数学第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时导数与函数的单调性教学案理北师大版.docx

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1、第2讲　导数的应用一、知识梳理1．函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而

2、且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值

3、的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．常用结论1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、教材衍化1．如图是函

4、数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值解析：选C.在(4，5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．2．设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D.f′(x)＝－＋＝(x>0)，当02时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x

5、)的极小值点．3．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是________．　解析：因为y′＝1－2sinx，所以当x∈时，y′>0；当x∈时，y′<0.所以当x＝时，ymax＝＋.答案：＋一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f′(x)>0.(　　)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)(5)函数的最大值不一定是极

6、大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√二、易错纠偏(1)原函数与导函数的关系不清致误；(2)极值点存在的条件不清致误；(3)忽视函数的定义域．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

7、则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因为当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.答案：(－∞，－1)3．函数f(x)＝x－lnx的减区间为________．解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数f(x)的减区间为(0，1)．答案：(0，1)第1课时　导数与函数的单调性　　　　　　不含参数函数的单调性(自主练透)1．函数y＝4x2＋的增区间为(　　)A．(0，＋∞)　　　　　　　B．C．(－∞，－1)

8、D．解析：选B.由y＝4x2＋，得y′