高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布几何概型练习理含解析.doc

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1、第5讲几何概型[基础题组练]1．(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(　　)A.mm2　　　　　　　B.mm2C.mm2D.mm2解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝×π×112＝(mm2)．2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥

2、形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)A．1－B.C.D．1－解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥”发生的概率为(　　)-7-A.B.C.D.解析：选C.由题意可得即解得0≤x≤，故所求的概率为＝.4.(2019·湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形

3、的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为(　　)A.B.C．1－D．1－解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝＝1－，故选C.5．(2019·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)

4、0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2

5、x下方的概率是(　　)A.B.C.D.解析：选A.y＝sin2x＝－cos2x，所以dx＝＝，区域Ω＝{(x，y)

6、0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是＝-7-.故选A.6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM<30°的概率为________．解析：如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM<30°)＝＝＝.答案：7．(2019·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率是

7、________．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，则Δ＝a2－b≥0，所以b≤a2，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率P＝＝.答案：8．(2019·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为××4－×2×＝－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.答案：－9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为

8、(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)

9、x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)

10、x2-7-＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x

11、＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为所表示的区域，B＝，如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，所以，P(B)＝＝，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.[综合题组练]1．(2019

12、·河南正阳模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)