高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布5第5讲几何概型练习理（含解析）

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1、第5讲几何概型[基础题组练]1．(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(　　)A.mm2　　　　　　　B.mm2C.mm2D.mm2解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝×π×112＝(mm2)．2．如图，在一个棱

2、长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)A．1－B.C.D．1－解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥”发生的概率为(　　)A.B.C.D.解析：选C.由题意可得即解得0≤x≤，故所求的概率为＝.4.(2

3、019·湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为(　　)A.B.C．1－D．1－解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝＝1－，故选C.5．(2019

4、·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)

5、0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是(　　)A.B.C.D.解析：选A.y＝sin2x＝－cos2x，所以dx＝＝，区域Ω＝{(x，y)

6、0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是＝.故选A.6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM<30°的概率为________．解析：如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于

7、是有P(∠CAM<30°)＝＝＝.答案：7．(2019·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率是________．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，则Δ＝a2－b≥0，所以b≤a2，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率P＝＝.答案：8．(2019·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，

8、所以弓形ADB的面积为××4－×2×＝－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.答案：－9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)

9、x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)

10、x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.10．已知

11、向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率

12、为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为所表示的区域，B＝，如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，所以，P(B)＝＝，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.[综合题组练]1．(2019·河南正阳模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1，1]上