2018-2019高中数学第3章三角恒等变换章末复习学案苏教版必修4.doc

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1、第3章三角恒等变换章末复习学习目标　1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2co

2、s2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3．升幂公式1＋cos2α＝2cos2α.1－cos2α＝2sin2α.4．降幂公式sinxcosx＝，cos2x＝，sin2x＝.5．和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．6．辅助角公式y＝asinωx＋bcosωx＝sin(ωx＋θ)．7．积化和差公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝

3、[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．8．和差化积公式sinα＋sinβ＝2sincos.sinα－sinβ＝2cossin.cosα＋cosβ＝2coscos.cosα－cosβ＝－2sinsin.9．万能公式(1)sinα＝.(2)cosα＝.(3)tanα＝.1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　√　)2．对任意角α，sin2α＝2sinα均不成立．(　×　)提示　如α＝kπ，k∈Z，则sin2α＝2sinα＝0.3．y＝sinx＋cosx的最大值

4、为2.(　×　)提示　∵y＝sinx＋cosx＝sin，∴函数最大值为.4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立．(　√　)提示　如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cosα＋cosβ＝cos＋cos＝cos＝，两式相等．类型一　灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1　已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．解　∵α是锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.∵β是锐角，∴cosβ＝.反思与感悟　给值求值的重要思想是探求已知式

5、与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．跟踪训练1　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解　(1)由题可知，cosα＝，cosβ＝.由于α，β为锐角，则sinα＝，sinβ＝，故tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝＝＝－.(2

6、)因为tan(α＋β)＝＝1，sinα＝<，sinβ＝<，即0<α＋β<，故α＋β＝.类型二　整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2　求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．解　设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝＝sin，∴t∈[－，]，∴sinx·cosx＝＝.∵f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1，此时，由sin＝－，解得x＝2kπ－π或x

7、＝2kπ－，k∈Z.当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋，此时，由sin＝，即sin＝1，解得x＝2kπ＋，k∈Z.综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.反思与感悟　在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．跟踪训练2　求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域．解　令sinx－cosx＝t，则由t＝sin知，t∈[－，]．又s

8、in2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－2＋.当t＝时，ymax＝；当t＝－时，ymin＝－－1.∴函数的值域为.类型三　转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3　已