2018-2019高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修4.doc

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1、2.3.1　平面向量基本定理学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一　平面向量基本定理思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案　能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．梳理　(1)

2、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二　向量的正交分解思考　一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？答案　能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．梳理　正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向

3、量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　×　)提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．(　×　)提示　由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　×　)提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．类型一　对基底概念的理解例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

4、；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.答案　②③解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共

5、线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1　e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e1＋e2，e1＋3e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1－e2.答案　②⑤解析　由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，∴2e1－e2与e1－e2共线，⑤不能作基

6、底．类型二　用基底表示向量例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.引申探究若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解　取CF的中点G，连结EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b.又∵＝＝，∴＝＝＝a＋b.又∵＝＝＋＝＋＝＋，∴＝＝b＋＝a＋b.反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示

7、其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2　如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解　＝＋，＝＋.设＝m，＝n，则＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝＋n(－)＝b＋n＝(1－n)b＋na.∵a，b不共线，∴即∴＝a＋b.类型三　平面向量基本定理的应用例3　在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ

8、，求λ＋μ的值．解　方法一　(基向量法)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得