【方程的根和函数的零点】导学案.doc

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第1课时　方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗? (2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. (2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当　　　　　时,有两个零点;当Δ=0时,有　　　　零点;当　　　　　时,没有零点. 问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有　　　　　　,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=x+3x;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.函数零点所在区间的判定函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(　　).A.(-2,-1)　　B.(-1,0)　　C.(0,1)　　D.(1,2)函数零点的个数判定 函数f(x)=1x+x2-2x有几个零点?(2014年·北京卷)已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　).A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)　　考题变式(我来改编): 第1课时　方程的根与函数的零点知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0　(2)Δ>0　一个　Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0重点难点探究探究一:【解析】(1)令x+3x=0,解得x=-3,所以函数f(x)=x+3x的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.　　探究二:【解析】因为f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.【答案】C　【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号,再用函数的零点存在性定理判断.　　探究三:【解析】由1x+x2-2x=0,得1x=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=1x和y=-x2+2x的图象,如图所示.由图可知,两个函数图象有2个交点,所以函数f(x)=1x+x2-2x有2个零点.[问题]得到的答案是否正确?[结论]不正确,画图不够准确.(法一)由1x+x2-2x=0,得1x=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=1x和y=-x2+2x的图象,如图所示. 由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数f(x)=1x+x2-2x有3个零点.(法二)解方程1x+x2-2x=0,即x3-2x2+1x=0,(x-1)·(x2-x-1)=0,所以方程有三个解,分别为x1=1,x2=1-52,x3=1+52.【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:①解方程;②画出函数图象,根据图象与x轴交点的个数判断零点的个数;③结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;④把方程转化为两个函数,画出两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.全新视角拓展【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.【答案】C思维导图构建实数x　x轴　有零点　f(a)·f(b)<0