精品系列：高考数学：含参 “一元二次不等式”的解法（解析版）

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1、【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数分类讨论以确定不等式解，这是解含参一元二次不等式问题一个难点.在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一根据二次不等式所对应方程根大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步将所给一元二次不等式进行因式分解；第二步比较两根大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步得出结论.例1解关于不等式：.【答案】详见解析.考点：解含参一元二次不等式【点评】解含参一元二次不等式，第一步先讨论二次项前系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解

2、因式，整理为，第二步，，，讨论两根大小关系，从而写出解集形式．【变式演练1】解关于不等式（为常数且）.【答案】时不等式解集为；时不等式解集为；时不等式解集为；时不等式解集为.若，，不等式解集为【解析】若，不等式解集为；若，，不等式解集为；考点：1.一元二次不等式解法；2.含参不等式解法.【变式演练2】已知，解关于x不等式．【答案】当时，；当时，；当时，．【解析】试题分析：先将一元二次不等式用十字相乘法分解因式，可得方程等于0两根．注意讨论两根大小，再根据函数图象开口向下，可解得不等式．试题解析：原式可化为：方程两根为：当时，∵，∴其

3、解集为．当时，∵，且原不等式可化为，其解集为[来源:ZXXK]当时，∵，∴其解集为综上所述：当时，当时，当时，考点：一元二次不等式．【变式演练3】已知二次函数，关于实数不等式解集为．（1）当时，解关于不等式：；（2）是否存在实数，使得关于函数（）最小值为？若存在，求实数值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为．（2）【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根关系得：两根为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，

4、为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当时，取最小值.①时，原不等式化为，且，解得或；②当时，原不等式化为，解得且；③当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为．考点：二次不等式解集与二次方程根关系，二次函数最值.类型二根据判别式符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步首先求出不等式所对应方程判别式；第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应不等式解集；第三步得出结论.例2设集合A={x

5、x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x

6、x

7、2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k取值范围．【答案】【解析】解：，比较因为(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x

8、x≥3k－1或x}.(2)当k=1时，x.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.B中不等式不能分解因式，故考虑判断式，综上所述，k取值范围是：【点评】解含参一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式符号分类.【变式演练4】在区间上,不等式有解，则取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于

9、方程，，当即时，二次函数与轴无交点，又函数图像开口向下，那么不等式解为实数解；当即时，二次函数与轴有两个交点，记，，若在区间上不等式无解，则有解得，从而知若在区间上不等式有解则；则或得．从而选.考点：一元二次不等式定区间定轴问题.【变式演练5】设不等式解集为，如果，求实数取值范围．【答案】.【解析】试题分析：分三种情况讨论，当时，，，合题意；时，或，验证知合题意；时，等价于方程两根，，根据一元二次方程根分布规律列不等式组可求得实数取值范围，三种情况求并集，可得取值范围是.设方程两根为，，且，那么，，∴，即解得．综上所述，时，取值范围

10、是．考点：1、一元二次不等式解法；2、一元二次方程根分布及子集应用.类型三根据二次项系数符号分类使用情景：参数在一元二次不等式最高次项解题模板：第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步分别求出其对应不等式解集；第三步得出结论.例3已知关于不等式.（1）若不等式解集为，求值．（2）求不等式解集【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为【解析】（1）将代入则，不等式为即不等式解集为或.综上所述，原不等式解集为①当时，或；②当时，③当时，；④当时，；⑤当时，原不等式解集为.考点：一元二次不等式解

11、法.【点评】（1）本题考察是一元二次不等式和一元二次方程关系，由题目所给条件知两根为，且，根据根与系数关系，即可求出值．（2）本题考察是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式解