含参一元二次不等式的解法

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1、含参一元二次不等式的解法温县第一高级中学数学组任利民解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.一、根据二次不等式所对应方程的根的大小分类例1解关于的不等式.分析：原不等式等价于，所对应方程的两根是或.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是与的大小关系.这样就容易将分成这三类.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是或.当

2、时，有，所以不等式的解集为或.当时，有，所以不等式的解集为且当时，有，所以不等式的解集为或.【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对的讨论时，的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.二、根据判别式的符号分类例2解关于的不等式.分析：设，欲确定的根的情况，需讨论三种情况，由此来确定的图像，并最终确定不等式的解集.解：不等式所对应方程的判别式

3、①当，即或时，原不等式所对应方程的两根为:或,原不等式的解集为或②当，得.当时,原不等式的解集为且.当时,原不等式的解集为且.③当，即时,原不等式的解集为.【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对讨论时，的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.一、根据二次项系数的符号分类例3解关于的不等式.分析：二次项系数决定了不等式的性质（时，是一次不等式；时，是二次不等式）.原不等式对应方程

4、的根无法确定，需讨论的符号解：①当时,原不等式的解集为.当时,原不等式所对应方程的判别式.②当时,，即时,原不等式的解集为.当，即时，原不等式的解集为.当，即时，原不等式的解集为.②当时,，即时,原不等式的解集为或当，即时，原不等式的解集为.当，即时，原不等式的解集为.【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在或时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.