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《专题09+导数与不等式的解题技巧-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖（教师版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题09导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④′＝________；⑤()′＝________．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．【详解】:如图所示,直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行
2、时,切点P到直线y＝x＋1的距离
3、PQ
4、即为所求最小值．(lnx)′＝,令＝1,得x＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得
5、PQ
6、min=＝,故选C.（三）构造函数证明不等式例3．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】:已知定义在（﹣∞,0）上的函数f名师揭秘高考数学（x）,其导函数记为f'（x）,若成立,则下列正确的是（ ）A．f（﹣e）﹣e2f（﹣1）＞0B．C．e2f（﹣e）﹣f（﹣1）＞0D．【答案】:A【分析】:由题干知:,x＜﹣1时,2f（x）﹣xf′（x）＜0．﹣1＜x＜0时,2f（x）﹣xf′（x）＞0．构造函数g（x）=,对函数求导可得到x＜﹣
7、1时,g′（x）＜0；﹣1＜x＜0,g′（x）＞0,利用函数的单调性得到结果.练习1．设是定义在上的偶函数的导函数,且,当时,不等式恒成立,若,,,则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】:D【分析】:构造函数,根据函数的奇偶性求得的奇偶性,再根据函数名师揭秘高考数学的导数确定单调性,由此比较三个数的大小.【解析】:构造函数,由于是偶函数,故是奇函数.由于,故函数在上递增.由于,故当时,,当时,.所以,,,根据单调性有.故,即,故选D.【点睛】:本小题主要考查函数的奇偶性,考查构造函数法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.练习2.设函数,的导函数为,且
8、满足,则（）A．B．C．D．不能确定与的大小【答案】:B【解析】:令g（x）=,求出g（x）的导数,得到函数g（x）的单调性,【详解】:令g（x）=,则g′（x）==,∵xf′（x）<3f（x）,即xf′（x）﹣3f（x）<0,∴g′（x）<0在（0,+∞）恒成立,故g（x）在（0,+∞）递减,名师揭秘高考数学∴g（）>g（）,即>,则有故选B.练习3.定义在[0,+∞）上的函数满足:．其中表示的导函数,若对任意正数都有,则实数的取值范围是（ ）A．（0,4]B．[2,4]C．（﹣∞,0）∪[4,+∞）D．[4,+∞）【答案】:C【解析】:由可得,令,则,利用导数可得
9、函数在区间上单调递减,从而由原不等式可得,解不等式可得所求范围．【详解】:∵,∴,当且仅当且,即时两等号同时成立,∴“对任意正数都有”等价于“”．由可得,令,则,∴．名师揭秘高考数学令,则,∴当时,单调递增；当时,单调递减．∴,∴,∴函数在区间上单调递减,故由可得,整理得,解得或．∴实数的取值范围是．故选C．【点睛】:本题难度较大,涉及知识点较多．解题的关键有两个,一是求出的最小值,在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件,特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是结合条件中含有导函数的等式构造函数,并通过求导得到函数的单调性,最后再根据单调性将函数不等
10、式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．（四）不等式中存在任意问题例4．【安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月)联考数学】:已知函数,,对于,,使得,则实数的取值范围是名师揭秘高考数学A．B．C．D．【答案】:D【解析】:,,使得,可得,利用,的单调性、最值即可求得.【详解】:对于,,使得,等价于,因为是增函数,由复合函数增减性可知在上是增函数,所以当时,,令,则,若时,,,所以只需,解得.若时,,,所以只需,解得.当时,成立.综上,故选D.练习1.已知函数,函数（）,若对任意的,总存在使得,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】:
11、B【解析】:由题意,可得在的值域包含于函数的值域,名师揭秘高考数学运用导数和函数的单调性和值域,即可求解.【详解】:由题意,函数的导数为,当时,,则函数为单调递增；当时,,则函数为单调递减,即当时,函数取得极小值,且为最小值,又由,可得函数在的值域,由函数在递增,可得的值域,由对于任意的,总存在,使得,可得,即为,解得,故选B.【点睛】:本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及导数在函数中的应用,其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域,运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于
