2017年八年级数学上册7.5三角形内角和定理拓展思考从三角形内角和到多边形内角和素材

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1、从三角形内角和到多边形内角和三角形的内角和是180°．那么，凸多边形的内角和又是多少度呢？显然，运用化归思想，可以把多边形分割成三角形解决．以凸五边形ABCDE为例（如图1所示）来进行分析．设F为凸五边形内任意一点，连接AF，BF，CF，DF，EF，则所得五个三角形的内角和都是180°，即∠ABF＋∠BFA＋∠FAB＝180°，∠BCF＋∠CFB＋∠FBC＝180°，∠CDF＋∠DFC＋∠FCD＝180°，∠DEF＋∠EFD＋∠FDE＝180°，∠EAF＋∠AFE＋∠FEA＝180°．相加，得∠ABF

2、＋∠BFA＋∠FAB＋∠BCF＋∠CFB＋∠FBC＋∠CDF＋∠DFC＋∠FCD＋∠DEF＋∠EFD＋∠FDE＋∠EAF＋∠AFE＋∠FEA＝5×180°＝900°．注意到以F为顶点的中间各角的和为360°，即∠BFA＋∠CFB＋∠DFC＋∠EFD＋∠AFE＝360°．∴∠ABF＋∠FBC＋∠BCF＋∠FCD＋∠CDF＋∠FDE＋∠DEF＋∠FEA＋∠EAF＋∠FAB＝3×180°．而∠ABF＋∠FBC＝∠ABC，∠BCF＋∠FCD＝∠BCD，∠CDF＋∠FDE＝∠CDE，∠DEF＋∠FEA＝∠DEA

3、，∠EAF＋∠FAB＝∠EAB．∴∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＋∠EAB＝3×180°．即凸五边形的内角和为3×180°．请思考：如果不是像图1那样分割，而是如图2所示分割，你又该如何推导？一般地，任意凸多边形的内角和为（n－2）180°．如果只要求结果而不要求证明过程，有时还可以用“压缩”的方法求得结果．如图2，把顶点“压向CD”，相应地整个图形也被“压扁”，当“A被压到CD上”时，A，B，C，D，E都在一条直线上了，∠A，∠C，∠D变成了180°，∠B和∠E都变成了0°，其和仍为3×18

4、0°．