高中数学24向量的应用241向量在几何中的应用优化训练新人教b版4!

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1、2.4.1向量在几何中的应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在边长为1的等边△ABC中，若=a，=b，=c，则a·b+b·c+c·a等于（）A.B.C.3D.0解析：依题意，得a·b+b·c+c·a=3

2、a

3、2·cos120°=-.答案：B2.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析：由=AB∥CD且AB≠CD，故四边形为梯形，选B.答案：B3.平面上不共线的三点A、B、C使得+所在的直线和-所在的直线恰好互相垂直，则△ABC必为_________________三角形.解析：如图所示，作ABCD，易知+=，-=

4、-=.依题意知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而△ABC为等腰三角形，∠B为顶角.答案：等腰4.通过点A(3，2)且与直线l：4x-3y+9=0平行的直线方程为________________.解：因向量(4，-3)与直线l垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.设P(x，y)为所求直线上的一动点，则=(x-3，y-2)，点P在所求直线上.当且仅当n·=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0.答案：4x-3y-6=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在△ABC中，有命题：①-=；②++=0；③若(+)·(-)=0，

5、则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④解析：对于①，应有-=，故①错;对于④，由·＞0有

6、

7、

8、6

9、cosA＞0，∴cosA＞0.∴A为锐角.但B或C是否为锐角，不能肯定，故④错.②③是正确的.答案：C2.设e是单位向量，=2e，=-2e，

10、

11、=2，则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=2e，=-2e，得ABCD.故为平行四边形.又

12、

13、=2，

14、

15、=2，∴四边形ABCD为菱形.答案：B3.直线3x+2y-6=0与向量n=(-2，3)的位置关系为（）A.平行B.相交C.垂

16、直D.重合解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A.答案：A4.过点A(3，-2)垂直于向量n=(5，-3)的直线方程是_______________.解析：设此直线方程为5x-3y+c=0，因为直线过A(3，-2)，∴5×3-3×(-2)+c=0.∴c=-21，即直线方程为5x-3y-21=0.答案：5x-3y-21=05.如图2-4-1，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.图2-4-1证明：设=a，=b，=e，=c，=d，则a=e+c，b=e+d，∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2

17、+2e·c-2e·d-d2.由已知a2-b2=c2-d2，∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,∴e·(c-d)=0.∵=+=d-c，∴·=e·(d-c)=0.∴⊥，即AB⊥BC.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△AOB中，=(2cosα，2sinα)，=(5cosβ，5sinβ)，若·=-5，则S△AOB等于()A.B.C.D.6解析：

18、

19、=2，

20、

21、=5，cosθ=，∴θ=120°.∴S△AOB=

22、

23、·

24、

25、sinθ=.答案：D2.在平面上有A、B、C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有（）A.A、B、C三点必在同一条直线上B.△A

26、BC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析：如图所示，作出ABCD，其中+=，-=-=.由于

27、m

28、=

29、n

30、，因此

31、

32、=

33、

34、，即ABCD的对角线AC与BD相等，故ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.答案：C3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是()A.a=(3，4)，b=(3，-4)B.a=(-3，4)，b=(4，-3)C.a=(4，3)，b=(3，-4)D.a=(-4，3)，b=(3，4)解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A，B)，平

35、行的向量为(-B，A).答案：C4.已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且++=，则P与△ABC的位置关系是()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上解析：∵++=，∴+=+=，即=2.∴A，C，P三点共线，即P在边AC上.答案：D5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则△ABC的重心G的坐标为()A.(4，2)B.(2，4)C.(-4，2)D.(-2，4)解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x，y)，即G(2，4).6答案：B6.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠