【人教版】（2019年春季）九年级数学下册微卷专训：专训3　构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

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1、专训3　构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金:解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一,考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题,还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形,建立数学模型,将某些简单的实际问题转化为数学问题,把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解、运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型、构造一个直角三角形解实际问题1、【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠

2、AOB为40°时,车门是否会碰到墙？请说明理由、(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)(第1题)[2、【2017·鄂州】如图,小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米,∠BCA＝30°,且B,C,D三点在同一直线上、(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度、(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问

3、题3、【2016·资阳】如图,“中国海监50”正在南海海域A处巡逻,岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上,岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上,已知点C在点B的北偏西60°方向上,且B,C两地相距120海里、(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去,当到达点A′时,测得点B在A′的南偏东75°的方向上,求此时“中国海监50”的航行距离、(注:结果保留根号)(第3题)4、【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高、如图,已知电线杆直立于

4、地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°,斜坡与地面成60°角,CD＝4m,请你根据这些数据求电线杆的高(AB)、(结果精确到1m,参考数据:≈1.4,≈1.7)(第4题)5、【中考·安徽】如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m,求改造后的坡长AE(结果保留根号)、(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题6、【2016·深圳】某兴趣小组借

5、助无人飞机航拍校园、如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8s,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4m/s,求这架无人飞机的飞行高度、(结果保留根号)、(第6题)7、【2017·绍兴】如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数、(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问

6、题8、【2017·潍坊】如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度、该楼底层为车库,高2.5m；上面五层居住,每层高度相等、测角仪支架离地1.5m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB＝14m、求居民楼的高度、(精确到0.1m,参考数据:≈1.73)(第8题)答案1、解:如图,过点A作AC⊥OB,垂足为点C,(第1题)在Rt△ACO中,∵∠AOC＝40°,AO＝1.2米,∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)、∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,∴车门不会碰到墙、2、解:(1)

7、设DE＝x.∵AB＝DF＝2,∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°,∴AF＝＝＝(x－2)、又∵CD＝＝＝x,BC＝＝＝2,∴BD＝BC＋CD＝2＋x.由AF＝BD可得(x－2)＝2＋x,解得x＝6.∴树DE的高度为6米；(第2题)(2)如图,延长NM交DB的延长线于点P,则AM＝BP＝3.由(1)知CD＝x＝×6＝2,BC＝2,∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4.∵∠NDP＝45°,∴NP＝PD＝3＋4.∵MP＝AB＝2,[∴NM＝NP－MP＝3＋4－2＝1＋4,∴食堂MN的高度为(1＋4)米、3、解:(1)如图所示,过点C作CD⊥BA交B