专训3　巧用构造法求几种特殊角的三角函数值

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1、专训3　巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．[来源:学§科§网]巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan22.5°的值

2、．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin18°，cos72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．答案1．解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝

3、90°，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a，∴AD＝2a，CD＝(2＋)a.在Rt△BCD中，BD＝＝＝(＋)a.∴sin15°＝sinD＝＝＝；cos15°＝cosD＝＝＝；tan15°＝tanD＝＝＝2－.[来源:学。科。网](第1题)　　(第2题)[来源:学科网ZXXK]2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，连接BD，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝a，∴AD＝a，DC＝(＋1)a，∴tan

4、22.5°＝tanD＝＝＝－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°.∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴∠FAB＝67.5°.[来源:学_科_网]设AB＝x，则AE＝EF＝x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝＝＝＋1.4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于D点，过

5、点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BE＝a，BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，∴＝，∴＝，即AB2－a·AB－a2＝0，∴AB＝a(负根舍去)，∴sin18°＝sin∠BAE＝＝，cos72°＝cos∠ABE＝＝.(第4题)　　　　(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD＝75°，∴sin75°＝＝＝，cos75°＝＝＝，tan75°＝＝＝2＋.方法2：如图，作△ABD，使∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，延长BD到C，使DC＝DA，连接AC，过B作BE⊥AC于E，则∠BAE＝7

6、5°，设AD＝DC＝a，则AC＝a，BD＝a，AB＝a，∴BC＝BD＋CD＝a.∴CE＝BE＝BC·sin45°＝a，∴AE＝AC－CE＝a，∴sin75°＝sin∠BAE＝＝＝，cos75°＝cos∠BAE＝＝，tan75°＝tan∠BAE＝＝2＋.