13数学分析期末复习题03

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1、数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限；2．求椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；3．求函数z=xy在条件x+y=1下的极值点。4．求函数z=x2+xy+y2-4lnx-10lny的极值。5.求函数z=4(x-y)-x2-y2的极值。6．求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值。7.求函数z=x3y2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。8．求函数z=x2+(y-1)2的极值。9.设u(x,y)=e3x-y，x2+y=t2，x-y=t+2，求。10．求ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面

2、与法线方程。11.设f(x,y,z)=x+y2+xz，求f在(1,0,1)点沿方向=(2,-2,1)的方向导数。12．求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。13.求函数u=x2+y2-z2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。14．在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。15．设函数f(x,y,z)=cos2(xy)+，试问它在点(0,2,1)处的什么方向

3、上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。16．求函数z=arctg在位于圆x2+y2-2x=0上一点(,)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角的范围为：0<）。17.设数量场u=，试求：（1）gradu；（2）在域1

4、gradu

5、，及sup

6、gradu

7、。18.求曲线x2+y2+z2=4a2，x2+y2=2ax在点(a，a，a)处的法平面方程。19．求x2+z2=10，y2+z2=10在点(1,1,3)处的切线方程。20.设u=f(x,y,z)，(x2,ey,z)=0，y=sinx，其中f，都具有

8、一阶连续偏导数，且，求。21．求函数u=的全微分；22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。（f具有连续的二阶偏导数)23．设f，g为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求。24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=，v=，求。25．设u+v=x+y，，求，。26.设u=xyf(x-2y,x2y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求。27．设x3-3xyz=10，求。28．设x=u+v，y=uv，z=u2+v2，求zx/，zy/。29.设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f具有连续的二阶偏导数，试

9、求。30.设u=u(x,y)。已知du=(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy求u。31．设z=f(sinx,cosy,ex+y)，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求，。32.设z=(xy)+()，求：。33.设u=yf()+xg()，其中函数f，g具有二阶连续导数，求。34.设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。二、证明题1.用极限定义证明。2.用极限定义证明。3.设A，B是R2中互不相交的有界闭集。求证：存在开集W，V满足WA，VB

10、，WV=。4.设G1，G2是R2中两个不相交的开集。试证明：G1=。（其中表示G2连同其边界所成集合，称其为G2的闭包）5.设u=f(z)，其中z是由方程z=x+yg(z)所确定的x和y的函数，求证。6.证明由方程F(,)=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程=z。7.设z=f(x,y)=，证明：（1），存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。8.设f(x,y)=。证明f(x,y)在(0,0)不可微。9.设z=f(x,y)=。证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)，存在；(3)，在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可

11、微。10.设10.(0,1)=0；20.(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30.(0,1)0。求证：存在>0，在[-,]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：，并求y/(0)。11.设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(x-mz,y-nz)=0（其中,m,n均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。12.研究含参量积分(p0)的一致收敛性。13.研究函数F()=，在(0,1)内的连续性。14.证明积分F()=是参数的连续函数。15.设F(y)=，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续，在y0的任一点都连续。16.设f(x)

12、在[0,+)可积，除+外只有x=0为瑕点。求证：。1