《数学分析Ⅲ》期末考试卷03

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1、数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分）已知u=InJx?+于,则冀OXdudu=o2、设厶：x2+y2=a2,则jxdy-ydx=L3、设厶:x二3cost,y=3sint.则曲线积分J（x2+y2）ds=L4、改变累次积分pyj7（x,y）么的次序为o得分阅卷人5、设£＞：x+yW],贝＞Jjj（a/5+V）dxdy=二、判断题（正确的打“O”；错谋的打“X”；每题3分,共15分）1、若函数.f（x,y）在点/Xx0,y°）连续，则函数.f（x,y）点/?（x0,y°）必存在一阶偏导数。（

2、）2、若函数/（x,y）在点〃（x（）,y0）可微，则函数/（x,y）在点/7（x（）,y（））连续。（）3、若函数/（x,y）在点p（x°,y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则必有几（勺，儿）二几（％‘儿）。（）4、Jf（x,y）dx=J/（x,y）dxo（）L（A9B）ub,a）5、若函数/（x,y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x,y）在D上可积。（）得分阅卷人三、计算题每小题9分，共45分)1、用格林公式计算曲线积分I=j(eKsiny-3y)dx+(excosy-3)dy,AO其中AO为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x2+y

3、2=处上半部分的路线。2、计算三重积分+>,2)dxdydz,V其中是由抛物ilHz=x24-/与平HHz二4围成的立体。I=JJdS,s其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。4、计算第二型曲面积分JJy(x_z)dydz+x2dzdx+(>'+xz)dxdy,刃冲S是立方休V=[O"]x[O"]x[O,b]的外表面。5、设D={(x9y)x2^y2

4、2兀y）dz,L与路线无关，并求被积表达式的一个原函数W（X,y,Z）O2、证明：若函数/（x,y）在有界闭区域D上连续，则存在H，使得\f^y）d（y=,这里S°是区域D的面积。D参考答案及评分标准一、填空题（第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分）1、———；——；—;——dx+~~dyox2+y2x2+v2/+），F+272、171a1；3、54兀；5、2(^5+1)o二、判断题（正确的打“0”；错误的打“X”；每题3分，共15分）1、X；2、O；3、X；4、X；5、O三、计算题（每小题9分，共45分）1、解：补上线段OA:y=0

5、,0G)构成封闭曲线，由格林公式，有I=JOA+AO(exsiny-3y)dx+(ercosy-3)dy-j(exsiny-3y)dx+(excosy-3)dyOA/):x2+y20)excosy-(excosy-3)~^lxdy-(Odx3^dxdy=^-a2D”2、解:作柱面坐标变换:x-rcosO.y=rsinO,z=zV^Vz：r2

6、jjr2rdrdOdz6分vz2兀24=〃厂Jdz8分00r232龙dxdy•••;=F=除士严作

7、极坐标变换：x=rcos0.y=rsin&,则J(r,&)=r,且D=>M()S5o<0<27u“2=2^/?(R_a)4、解：用高斯公式，得I=y+O+x)dxdydz£二fdxfd){(x+y)dz二员9分5、解：曲顶柱体的体积V=口八宀＞®dxdy4分D作极坐标变换：x=rcosy=rsir,贝UJ(r,ff)=r,且D=>D

8、x，y,z)gR:a?_ae__2_dydxdydzdzdx•••曲线积分与路线无关。“(x,y,z)=j*P(x,0,0)d兀+JQ(x,y,0)dy+JR(x,y,z)dz000xyz-Jy2dy+j(z2-2xz)dz7分000==i(x3+y3+z3)-2xyz9分31、证明：由最值定理，函数/lx,y）在有界闭区域D上存在最大值M和最小值加，且X/(x,y)eD,有m

9、).或必一其中S。为D的而积

10、。根据介质性定理，存在（歹，〃）丘jj/（x,y）da/（§,〃）=,即口f