第六章函数逼近初次修改稿.ppt

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1、第六章函数逼近§1数据拟合的最小二乘法§3函数的最佳平方逼近§2正交多项式1Lagrange插值与最小二乘逼近的图像描述2方法1:用3次Lagrange插值多项式近似x,y的函数关系.为什么要用最小二乘逼近.xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.方法2:用直线来近似x,y的函数关系.3用直线y=a0+a1x来反映x,y之间的函数关系.如何选取a0,a1?才能使直线最好地反映数据点的基本趋势?残差向量残差4衡量近似函数好坏的标准：残差向量的大小(1)使残差的绝对值之和最小,即(2

2、)使残差的最大绝对值最小,即(3)使残差的平方和最小,即最佳平方逼近或数据拟合的最小二乘法最佳一致逼近5问题:给定n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)求直线y=a0+a1x使得达到最小.最小二乘一次多项式拟合§1数据拟合的最小二乘法6令则原问题等价于求a0,a1使F(a0,a1)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得正则方程组7由上式求得a0,a1,代入y=a0+a1x得到最小二乘拟合(直线)一次多项式.8xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.解正则方程组9直线拟合误差很大抛物

3、线拟合效果更好10问题:给定n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)求使得达到最小.最小二乘二次多项式拟合11令则原问题等价于求a0,a1,a2,使F(a0,a1,a2)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得12用Cholesky分解法求此对称正定阵用MATLAB函数z=Ar由上式求得a0,a1,a2,得到最小二乘拟合二次多项式正则方程组13最小二乘三次多项式拟合正则方程组14最小二乘m次多项式拟合(m

4、去拟合数据.但是这是一个关于a,b的非线性模型,故应通过适当变换,将其化为线性模型,然后利用最小二乘法求解.为此,对指数函数两端取对数,得16则数据组(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘拟合指数曲线为这表明(xi,lnyi)(i=1,2,…,n)的分布近似于直线,求出此数据组的最小二乘拟合直线17xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532(1)作散点分布图点的分布近似为抛物线18(2)确定近似表达式设拟合曲线为二次多项式(3)建立正则方程组19故正则方程组为(4)求解正则方程组得故所求

5、拟合曲线为20xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532Matlab解法:polyfit([1,2,3,4,6,7,8],[2,3,6,7,5,3,2],2)ans=-0.38643.4318-1.318221例测得一发射源的发射强度I与时间t的一组数据如下tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法确定I与t的函数关系.(1)作散点分布图可以考虑用指数函数近似22列数据表tiIi0.20.30.40.50.60.70.8

6、3.162.381.751.341.000.740.56lnIi1.15060.86710.55960.292700.30110.5798求lnI与t的最小二乘直线.将上表数据代入正则方程组得其解为故所求拟合曲线为Matlab解法:polyfit([0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],…[1.1506,0.8671,0.5596,0.2927,0,-0.3011,-0.5798],1)ans=-2.88831.728323求数据组的最小二乘拟合函数的步骤(1)由给定数据确定近似函数的表达式,一般可通过描点观

7、察或经验估计得到(2)按最小二乘原则确定表达式中的参数,即由残差平方和最小导出正则方程组,求解得参数.24实际问题中,由于各点的观测数据精度或重要性不同,常常引入加权方差,即确定参数的准则为:使得最小,其中i(i=1,2,…,n)为加权系数.25函数内积设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,定义f与g的内积为:§2正交多项式26函数正交设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,若f与g的内积为0,则称f与g在区间[a,b]上正交.27正交函数系则称此函数系为区间[a,b]上的正交函数系.特别地,若k=1(

8、k=0,1,2,…),则称其为标准正交函数系28如果正交函数系中函数均为代数多项式,则称其为正交多项式系.正交多项式系例如三角函数系就是区间[－,]上的正交函数系.29区间[－1,1]