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1、2.1数据拟合(最小二乘法)实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数通过观察或测量到一组离散数据序列，当所得数据比较准确的时候，可构造插值函数，构造的原则是要求插值的函数通过这些插值节点。但通常所测得的数据有误差，如果数据系列无法同时满足某特定函数，即插值无法满足要求，在这种情况下只能通过逼近函数最优的靠近样点，即数据拟合。纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。一、最小二乘法的基本概念一般使用在回归分析中称为残差称为平方误
2、差在回归分析中称为残差平方和。注意(1)式是一条直线。因此将问题一般化：仍然定义平方误差我们选取的度量标准是：---------(2)---------(3)二、法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为由多元函数取极值的必要条件得即---------(4)即引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解即是的最小值所以因此作为一种简单的情况,基函数之间的内积
3、为见小书79页例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得法方程组为解得平方误差为拟合曲线与散点的关系如右图:例2.求拟合下列数据的最小二乘解解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561图示6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6
4、163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的平方误差为图象如图例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式两边取对数,得得即
5、为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为三、加权最小二乘法各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数定义加权平方误差为-----(9)使得由多元函数取极值的必要条件得即引入记号定义加权内积-----(10)矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-----(11)---(12)平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-----(13)
