江苏省2019-2020年高三招生考试模拟测试附加题数学试题（十二）含解析

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1、普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C.若DB＝DC，求证：CA＝AO.B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.C.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0.求圆心的极坐标．4D.(选修4-5：不等式选讲)已知a，b为非负实

2、数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．记抽取的不合格产品数为ξ.(1)分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；(2)比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，设点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点(P在Q上方)．(1)若t＝1，直

3、线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；(2)求证：∠PAO＝∠QAO.4(十二)21.A.证明：连结OD，AD.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，AB＝2AO.(3分)因为DC是圆O的切线，所以∠CDO＝90°.(6分)因为DB＝DC，所以∠B＝∠C，于是△ADB≌△ODC，从而AB＝CO，即2OA＝OA＋CA，得CA＝AO.(10分)B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，于是a＝－1，b＝c＝0，d＝，从而矩阵A的逆矩阵为A－1＝，(7分)所以A－1B＝＝.(10分)C.解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ

4、sinθ－2ρcosθ－4＝0.(3分)则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.(6分)于是圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为.(10分)D.证明：由a，b为非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．(4分)当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]＞0.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．(10分)22.解：(1)方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H(2，3，10)．于是

5、P(ξ＝0)＝＝＝；P(ξ＝1)＝＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝.因此ξ的概率分布可表示为下表：4ξ012P(3分)方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B.于是P(ξ＝0)＝C＝；P(ξ＝1)＝C＝；P(ξ＝2)＝C＝.因此ξ的概率分布可表示为下表：ξ012P(6分)(2)由(1)知，方式一中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×＝(个)；方式二中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×＝(个)．两种抽取方式抽到的不合格品的平均数相等，均为个．(10分)23.(1)解：若t＝1，直线PQ的倾斜角为，则直线PQ的方程为y＝x－1.解方程组得P(3＋2，2＋2)．因为A(－1，

6、0)，所以直线PA的斜率kPA＝＝.(3分)(2)证明：因为直线PQ经过点B(t，0)，且与抛物线相交于P，Q两点，所以可设直线PQ的方程为x＝my＋t.联立方程组消去x得y2－4my－4t＝0，解得y＝2m±2，于是P(2m2＋2m＋t，2m＋2)，Q(2m2－2m＋t，2m－2)．(7分)所以直线PA的斜率kPA＝＝＝.同理，直线QA的斜率kQA＝＝－.可见kPA＝－kQA，结合图形，得∠PAO＝∠QAO.(10分)4