江苏省2019-2020年高三招生考试模拟测试附加题数学试题（六）含解析

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1、普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.B.(选修4-2：矩阵与变换)求矩阵的特征值及对应的特征向量．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点

2、，求P到直线l的距离的最大值．4D.(选修4-5：不等式选讲)设x，y均为正数，且x＞y，求证：x＋≥y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．23.证明：对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．4(六)21.A.证明：作PE⊥AB于E，∵AB为直径，∴∠ANB＝∠AMB＝90°，(2分)∴P，E，B，N四点共

3、圆，P，E，A，M四点共圆．(6分)(8分)①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM，(9分)即AP·AN＋BP·BM＝AB2.(10分)B.解：特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8，(3分)由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.(6分)将λ1＝2代入特征方程组，得x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(8分)同理，当λ2＝4时，由x－y＝0，所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为.(10分)C.解

4、：由ρsin＝3，可得ρ＝3，∴y－x＝6，即x－y＋6＝0.(3分)由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，(6分)∴圆心到直线l的距离d＝＝3.(8分)∴P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.(10分)D.证明：x－y＋＝(x－y)＋(3分)＝＋＋，(5分)∵x＞y，x－y＞0，∴＋＋≥3＝3，4当且仅当＝＝时取等号，此时x－y＝2.(10分)22.解：(1)以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．所以cos〈，〉＝＝＝－，故两

5、条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)(2)B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得所以则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，设直线BB1与平面BED1F所成角为α，则sinα＝

6、cos〈，n〉

7、＝

8、

9、＝.(9分)所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.(10分)23.证明：①当n＝1时，能被8整除；(2分)②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，结论成立，(4分)则5k＋2·3k－1＋1能被8整除．设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，当n＝k＋1时

10、，5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)，(7分)而当k≥2，k∈N*时3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除，故当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．(10分)4