通用版2019版高考数学一轮复习不等式选讲2第2讲不等式的证明教案理.doc

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1、第2讲　不等式的证明1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数

2、有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．对于任意的x、y∈R，求证

3、x－1

4、＋

5、x

6、＋

7、y－1

8、＋

9、y＋1

10、≥3.证明：根据绝对值的几何意义，可知

11、x－1

12、＋

13、x

14、≥1，

15、y－1

16、＋

17、y＋1

18、≥2，所以

19、x－1

20、＋

21、x

22、＋

23、y－1

24、＋

25、y＋1

26、≥1＋2＝3.若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：＋≥8.证明：因为a＋b＝1，所以a2＋2ab＋b2＝1.因为a>0，b>0，所以＋＝＋＝1＋＋＋

27、1＋＋＝2＋＋≥2＋2＋2＝8.若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>.证明：因为x＋y>z，所以x＋y－z>0.由分数性质得<＝.因为x>0，y>0，所以＝＋<＋.所以＋>.若a>b>1，证明：a＋>b＋.证明：a＋－＝a－b＋＝.由a>b>1得ab>1，a－b>0，所以>0.即a＋－>0，所以a＋>b＋.比较法证明不等式[典例引领](2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

28、a＋b

29、＜

30、1＋ab

31、.【解】　(1)f(x)＝

32、当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；当－＜x＜时，f(x)＜2；当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x

33、－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此

34、a＋b

35、＜

36、1＋ab

37、.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒]　(1)当被证的不等式

38、两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．　[通关练习]1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．证明：因为(a＋b)(a5＋b5)－2(a6＋b6)＝a6＋a5b＋ab5＋b6－2a6－2b6＝a5b＋ab5－a6－b6＝a5(b－a)＋b5(a－b)＝(a－b)(b5－a5)．当a>b>0时，a－b>0，b5－a5<0，有(a－b)(b5－a5)<0.当b>a>0时，a－b<0，b5－a5>0，有

39、(a－b)(b5－a5)<0.当a＝b>0时，a－b＝0，有(a－b)(b5－a5)＝0.综上可知(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab).证明：＝ab－ba－＝.当a＝b时，＝1；当a>b>0时，0<<1，>0，<1.当b>a>0时，>1，<0，<1.所以abba≤(ab).用综合法、分析法证明不等式[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】　法一：

40、(综合法)(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋·(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.法二：(分析法)(1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2.要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，再证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，再证a4＋b4≥2a2b

41、2，因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．故原不等式成立．(2)要证a＋b≤2成立，只需证(a＋b)3≤8，再证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，再证ab(a＋b)≤2，再证ab(a＋b)≤a3＋b3，再证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，即证ab≤a2－ab＋b2显然成立．故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题