高考数学(课标通用版)大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明检测(文科)含答案

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1、第2讲不等式的证明[基础题组练]1．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，求证：1＋1≥4.abab证明：由3是3与3的等比中项得ab3·3＝3，即a＋b＝1，要证原不等式成立，a＋ba＋bba只需证a＋b≥4成立，即证a＋b≥2成立，baba因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2a·b＝2，(当且仅当ba＝，即a＝b＝ab12时，“＝”成立)，11所以a＋b≥4.11112．求证：12＋22＋32＋＋n2＜2.n1111证明：因为n2＜n（n－1）＝n－1－，1111111142所以12＋22＋32＋＋n2＜1＋1

2、×＋2×3＋3×＋＋（n－1）×n111111＝1＋1－2＋2－3＋＋－n－1n＝2－＜2.n3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f(x)＝

3、2x－3

4、＋

5、3x－6

6、.(1)求f(x)<2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b1＝2，求证：a＋b≤T.解：(1)f(x)＝

7、2x－3

8、＋

9、3x－6

10、＝33－2x＋6－3xx<233－5x＋9x<2＝3，2x－3＋6－3x2≤x≤2－x＋32≤x≤22x－3＋3x－6（x>2）5x－9（x>2）其图象如图，由图象可知：f(x)<2的解集为

11、7115，5.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知a＋b2≤a＋b1122＝4＝，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即a＋b≤1＝T.4．设不等式－2＜

12、x－1

13、－

14、x＋2

15、＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：1113a＋b＜；64(2)比较

16、1－4ab

17、与2

18、a－b

19、的大小．解：(1)证明：记f(x)＝

20、x－1

21、－

22、x＋2

23、＝1111111111111＜x＜，即M＝－2，2，所以a＋6b≤

24、a

25、3＋

26、b

27、6＜3×＋6×2＝.24解得－3，x≤－2，－2x－1，－2＜x≤1，由－2＜－2x－1＜0－3，

28、x＞1，22(2)由(1)得a2＜12，b＜414，因为3

29、1－4ab

30、2－4

31、a－b

32、22222＝(1－8ab＋16ab)－4(a－2ab＋b)22＝(4a－1)(4b－1)＞0，2故

33、1－4ab

34、＞4

35、a－b

36、，即

37、1－4ab

38、＞2

39、a－b

40、.2[综合题组练]1．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.c21(1)求证：2ab＋bc＋ca＋2≤2；222222(2)求证：a＋cb＋b＋ac＋c＋ba≥2.2c21证明：(1)要证2ab＋bc＋ca＋2≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c，即证1－(4ab＋

41、22bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，c212所以2ab＋bc＋ca＋≤.2222222(2)因为a＋cb≥2acb，b＋ac≥2abc，c＋ba≥2bca，22a＋c所以b＋abb＋a22c＋c＋b22a≥acababbcb＋c＋c＋a＋1acbcb＋a＝acbacb＋c＋b＋＋cb＋a≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．3x2.2．(2019·新疆自治区适应

42、性检测)设函数f(x)＝

43、2x＋1

44、－

45、2x－4

46、，g(x)＝9＋2x－(1)解不等式f(x)>1；(2)证明：

47、8x－16

48、≥g(x)－2f(x)．解：(1)当x≥2时，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1恒成立，所以x≥2.1当－≤x<2时，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，所以11不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：

49、8x－16

50、≥g(x)－2f(x)?

51、8x－16

52、＋2f(x)≥g(x)，1因为2f(x)＋

53、8x

54、－16

55、＝

56、4x＋2

57、＋

58、4x－8

59、≥

60、(4x＋2)－(4x－8)

61、＝10，当且仅当－2≤x≤2时等号成立，所以2f(x)＋

62、8x－16

63、的最小值是10，＋又g(x)＝－(x－1)210≤10，所以g(x)的最大值是10，当x＝1时等号成立．因为1∈－12，2，所以2f(x)＋

64、8x－16

65、≥g(x)，所以

66、8x－16

67、≥g(x)－2f(x)．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f(x)＝m－

68、x－1

69、，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m的值；＋(2)若a，b，c为正数，且11＋1＝m，求证：

70、a＋2b＋3c≥3.a2b3c解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0得，

71、x＋1

72、＋

73、x－3

74、≤2m，－2x＋2，x≤－1，设g(x)＝

75、x＋1

76、＋

77、x－3

78、，则g(x)＝4，－1