江苏专用2019高考数学二轮复习专题三第4讲数列与不等式应用题学案理.doc

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1、第4讲　数列与不等式应用题高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)正确处理数列中的递推关系，解决以数列知识作为背景的应用题；(2)一元二次不等式、基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，C级要求，难度中等以上.真题感悟(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问

2、它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10(当且仅当k＝1时取等号).所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.考点整合1.(1)等差数列的通项及前n项和：an＝a1＋(n－1)d；Sn＝na1＋d＝.(2)等比数列的通项

3、及前n项和an＝a1qn－1；Sn＝＝(q≠1).2.数列的通项与求和.3.一元二次不等式及其解法.4.(1)基本不等式：≤(a＞0，b＞0)等号成立条件：当且仅当a＝b时取等号.(2)重要变形：a＋b≥2；ab≤.热点一　数列中的实际应用问题【例1】商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行(以下简称建行)贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款

4、.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可还清建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg1.7343≈0.2391，lg1.05≈0.0212，1.058≈1.4774)解　依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用.(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为(2)1000×800(元)＝800000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n－1]≥500(1＋5

5、%)n＋1，化简得62(1.05n－1)≥25×1.05n＋1.所以1.05n≥1.7343.两边取对数整理得n≥＝≈11.28，所以取n＝12(年).所以到2024年底可全部还清贷款.(2)设每生每年的最低收费标准为x元，因为到2020年底公寓共使用了8年，依题意有[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9，化简得(0.1x－18)≥500×1.059，所以x≥10≈10≈10×(18＋81.2)＝992(元).故每生每年的最低收费标准为992元.探究提高　在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份

6、有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.【训练1】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游

7、业的总收入才能超过总投入？解　(1)第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×万元，所以n年内的总投入an＝800＋800×＋…＋800×＝4000×；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内的总收入bn＝400＋400×＋…＋400×＝1600×.∴an＝4000×，bn＝1600×.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，所以bn－an>0，即1600×－4000×>0，化简得5×＋2×－7>0，即<，可得n≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过

8、总投入.热点二　不等式在实际问题中的应