中值定理和导数应用（刑科）.ppt

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1、高等数学主讲：袁源第四章微分中值定理与导数的应用本章将进一步研究构成微分学理论基础的、反映导数更深刻性质的微分中值定理，它用导数作为工具研究函数并对其图像做细致的分析研究微分中值定理由特例到一般，可分为三种情况，分别用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理来描述。，，，，，，，，，，，，，罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理推广特殊推广特殊特殊推广第一节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理定理：设函数满足：(1)在闭区间　　　上连续，(2)在开区间　　　内可导，(3)，则至少存在

2、一点　　，使得　　。〖注意〗Rolle定理与第二章的零点定理有何区别？例如,例：理解：（1）条件缺少其一，结论可能不成立（3）定理条件时充分的，但不是必要的。（2）存在，但未指明的具体数目（2）存在，但未指明的具体数目几何解释:解：先说明该函数在该区间上满足罗尔定理的条件：再求出满足罗尔定理结论的　值，从而验证罗尔定理：例1验证函数在区间上满足罗尔定理，并求值。（2）根的唯一性例2试证：方程有且仅有一个实根。证明：构造函数，证明分两步完成：(1)根的存在性对两个以上的根有同样的结论。综合（1）、（2）即证。

3、(反证法）〖思考〗在上述证明中，闭区间为什么取为[0,1]呢？可以有其它取法吗？【说明】零点定理的闭区间取法不是唯一的，例如也可以取为[0,2]或[0,3]等，但不能取为[0,0.5]，换句话说，零点定理中闭区间的取法按满足“两个端点的函数值异号”来选取。定理：设函数满足：(1)在闭区间　　　上连续，(2)在开区间　　　内可导，则至少存在一点　　，使得　　。二、拉格朗日（Lagrange）中值定理【补充】Lagrange中值定理的结论也可以表达为：其中，　　　，称为有限增量公式。【说明】Lagrange中值

4、定理的重要意义在于建立了函数与导数之间的桥梁，从而为利用导数研究函数及曲线形态创造了条件。Lagrange公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.几何解释:*【如何证明】构造函数，利用Rolle定理构造的函数既要符合Rolle定理的条件，又可应用Rolle定理导出Lagrange中值定理。对利用Rolle定理，就可以导出Lagrange中值定理。在x=1处例1：验证Lagrange中值定理对函数在[0，2]上的正确性解：在[0,1)和(1,2]上，是连续函数在[0,2]

5、上，连续在(0,1)内，，在(1,2)内，在x=1处，找使当时，当时，均满足定理要求推论1:若函数　　在区间I上有，则推论2:设函数　　在区间I内每一点导数有则在I内相差一个常数。即：三、柯西(Cauchy)中值定理Cauchy中值定理：设满足，（1）在上连续，（2）在内可导，且则存在，使得。几何解释:引入辅助函数，利用拉格朗日中值定理证明例1设在上可微，证明：证明令，在上连续，在内可导，又在上可微，则在上连续，满足柯西中值定理条件，所以练习1证明2已知且证明：3证明1证明证明：令2已知且证明：证明：令3证

6、明证明：令在满足拉格朗日中值定理条件且[定义]例如,第二节罗必塔法则一、罗必塔法则（1）设，，若则（2）设，，若则说明：（1）如果无法判断的极限状态，法则失效。（2）导数比的极限不存在，并不等于函数比的极限不存在，只是不能用罗必塔法则而已。（3）如果仍然满足定理的条件，可继续使用罗必塔法则。（1）（2）例1求下列极限解:（3）（3）原式（1）（2）例2求下列极限解:极限不存在，法则失效但：原式（2）（1）（2）练习：解:注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.二、其他

7、未定式小结洛必达法则【思考】：在中学数学里，我们是怎样判断函数单调性呢？第三节函数的单调性与极值例讨论函数在内的单调性方法1：根据函数单调增加和单调减少的定义任取，不妨设。我们来考察函数在这两点处的函数值之差是正数还是负数。因可以是正数也可以是负数，，（由的单调增加性），所以难于判断是还是方法2：根据我们前面学习过的知识，有从而，而，我们仍然难于判断是还是。容易知道，我们更加难于判断函数在区间内任意两点处的函数值之商是大于1还小于1思考：究竟要用怎样的方法才能解决这样复杂的问题呢？定理一、函数的单调性定理中

8、的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．例3确定函数的单调区间例2确定函数的单调区间解：解：导数等于零的点或不可导点可能是单调区间的分界点如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分的定义区间，就能保证在各个区间保持固定