数学物理方法 第三章 幂级数展开.ppt

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1、第三章幂级数展开意义：1.利用级数计算函数的近似值；2.级数法求解微分方程；3.以级数作为函数的定义；4.研究奇点附近函数的性质。§3.1复数项级数一、复级数概念1原级数成为这样复级数归结为两个实级数，实级数的一些性质可移用于复级数。二、收敛性问题1、收敛定义：部分和于有确定的极限，便称级数收敛；极限不存在或，便称级数发散。22、柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对于任给的小正数，必有N存在，使得n>N时，式中p为任意正整数。3、绝对收敛级数若收敛，则绝对收敛。a.绝对收敛级数改变先后次序，和不变；b.两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛

2、，为两级数和之积。——为-N语言叙述的极限定义！34三、函数项级数1、概念与收敛判据设是z平面上某区域B中的单值解析函数。如果函数项在B中（或某曲线l上）所有点上都收敛，则说级数在B中（或某曲线l上）收敛。5柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对B内每点z，任给小正数>0,必有N(,z)存在，使得当n>N(,z)时，式中p为任意正整数。N一般随z不同而不同，但如果对任给小正数>0,存在与z无关的N(),使得n>N()时，上式成立，便说在B内一致收敛。——为-N语言叙述的极限定义！62、一致收敛级数的性质记级数和为（1）在B内

3、一致收敛的级数，如果级数的每一项都是B内的连续函数，则级数的和也是B内的连续函数。（2）逐项求积分在曲线l上一致收敛的级数，如果级数的每一项都是l上的连续函数，则级数的和也是l上的连续函数，而且级数可沿l逐项求积分。7（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass定理）设级数在中一致收敛，在中单值解析，则级数的和也是中的单值解析函数，的各阶导数可由逐项求导数得到，即：且最后的级数在内的任意一个区域中一致收敛。83、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法，或优级数判别法，或M判别法若对于某区域B(或曲线l)上所有各点z,函数项级数各项

4、的模（是与z无关的正数)，而正的常数项级数收敛，则在区域B(或曲线l)上绝对且一致收敛。9§3.2幂级数一、定义其中为复常数。这样的级数叫作以z0为中心的幂级数。二、幂级数敛散性1、比值判别法（达朗贝尔判别法）10按比值判别法（达朗贝尔判别法）若则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。引入记号则即：若，则（3.2.1)绝对收敛。11另一方面，若则级数发散即：收敛发散R：收敛半径CR:收敛圆收敛发散RCRz0122、根式判别法：若（3.2.2）收敛，（3.2.1）绝对收敛级数发散(收敛半径的另一公式)R：收敛半径CR:收敛圆收敛发散RCR

5、z0133、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛作在有对应用比值判别法有幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！R：收敛半径CR:收敛圆收敛发散RCRz0CR1R114三、例题例1求的收敛圆。t为复数若则解：15例2求的收敛圆。z为复数.解：R：收敛半径CR:收敛圆收敛发散RCRz0CR1R116四、幂级数所代表的函数的解析性质1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛，据外氏定理，这级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函数2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导174、幂级数的回路积分表示18§3.3解析函数的泰

6、勒（Taylor）级数展开：定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数，其中展开系数为为圆CR内包含z且与CR同心的圆。19Itwasin1715thatTaylorpublished(withnoconsiderationofconvergence)hiswell-knownexpansiontheorem.In1717,Taylorappliedhisseriestothesolutionofnumericalequations.RecognitionofthefullimportanceofTa

7、ylor'sseriesawaiteduntil1755,whenEulerappliedtheminhisdifferentialcalculus,andstilllater,whenLagrangeusedtheserieswitharemainderasthefoundationofhistheoryoffunctions.TaylorwaseducatedatSt.John'sCollegeofCambridgeUniversityandearlyshowedgreatpromiseinmathematics.Hewasadmitted

8、totheRoyalSocietyandbecameitssecretary,onlytoresignattheageofthirty-foursot