数学物理方法 第三章 幂级数展开

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1、数学物理方法幂级数展开幂级数展开复级数幂级数和泰勒展开双边幂级数和罗朗展开孤立奇点本章小结复级数复数项级数形式：i=1ui通项：ui为复数部分和：sn=nui和：s=limsn余项：rn=s-sn=un+1+un+2+…收敛：s存在>0,N(),s.t.n>N()=>

2、s-sn

3、<绝对收敛定义：s=i=1

4、ui

5、收敛性质：绝对收敛=>收敛复级数收敛性判别法级数∑i=1ui比值法=limk

6、uk+1/uk

7、<1，绝对收敛；=1，不确定；>1，发散。根值法=limk

8、uk

9、1/k<1，绝对收敛；=1，

10、不确定；>1，发散。例：判断几何级数的敛散性∑n=0a0qn解：1.比值法=

11、q

12、

13、q

14、<1，绝对收敛；

15、q

16、=1，不确定；

17、q

18、>1，发散。2.根值法=

19、q

20、limk

21、a0

22、1/k=

23、q

24、

25、q

26、<1，绝对收敛；

27、q

28、=1，不确定；

29、q

30、>1，发散。复级数复函项级数形式：∑i=1ui(z)通项：ui(z)部分和函数：sn(z)=∑i=1nui(z)和函数：s(z)=limsn(z)收敛域：{z

31、s(z)存在}定义：>0,N(,z),s.t.n>N(,z)

32、s(z)-sn(z)

33、<一致收敛性：定义：>0,N(

34、),,s.t.n>N()

35、s(z)-sn(z)

36、<性质：各项连续和连续，和的积分=各项积分之和；各项可导和可导，和的导数=各项导数之和幂级数和泰勒展开幂级数形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)k收敛域：R=limk

37、ak/ak+1

38、=limk

39、ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k

40、=

41、z-b

42、/R

43、z-b

44、

45、z-b

46、=R=1，不确定；

47、z-b

48、>R>1，发散。一致收敛性：s(z)dz=k=0ak(z-b)kdzs’(z)=k=0[ak(z-b)k]’幂级数和泰勒展开泰

49、勒展开问题：一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？泰勒定理：一个在圆

50、z-b

51、=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数f(z)=∑k=0ak(z-b)k该幂级数在圆

52、z-b

53、=R内收敛；以b为中心的展开式是唯一的；系数ak=f(n)(b)/n!应用柯西积分公式，系数也可以表示为幂级数和泰勒展开展开方法基本方法（用定理）f(z)=∑k=0ak(z-b)k，an=f(n)(b)/n!例1：题目：在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。解答：f(z)=exp(z)f(n)(z)=exp(z)f(n)(0)=1an=1/n!f(z)

54、=∑k=0zk/k!该幂级数在圆

55、z

56、<内收敛；幂级数和泰勒展开例2：题目：在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。解答：f(z)=1/(1-z)f’(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=∑k=0zk该幂级数在圆

57、z

58、<1内收敛；幂级数和泰勒展开发散方法（用性质）线性组合的展开=展开之线性组合。和函数的积分=各项积分之和；和函数的导数=各项导数之和；例3：题目：在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。解答：cosh(z)=[exp

59、(z)+exp(-x)]/2exp(z)=∑k=0zk/k!exp(-z)=∑k=0(-z)k/k!cosh(z)=∑k=0[zk/k!+(-z)k/k!]/2=∑k=0z2k/(2k)!该幂级数在圆

60、z

61、<内收敛；幂级数和泰勒展开例4：题目：在b=0的邻域上把f(z)=ln(1-z)展开。解答：ln(1-z)=-∫(1-z)-1dz(1-z)-1=∑k=0zkln(1-z)=-∫∑k=0zkdz=-∑k=0zk+1/(k+1)例5：题目：在b=0的邻域上把f(z)=(1-z)-2展开。解答：(1-z)-2=[(1-z)-1]’(1-

62、z)-1=∑k=0zk(1-z)-2=[∑k=0zk]’=∑k=0kzk-1双边幂级数和罗朗展开负幂级数形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)-k收敛域：t=1/

63、z-b

64、

65、t

66、=1/

67、z-b

68、

69、z-b

70、>R’=1/R双边幂级数形式：s(z)=∑k=-ak(z-b)k分析双边幂级数=正幂级数+负幂级数收敛域：R’<

71、z-b

72、

73、z-b

74、

75、环R1<

76、z-b

77、

78、z

79、>0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。解答：cosh(z)=∑k=0z