数学物理方法3幂级数展开

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1、1解f(ξ)=2πi(3ξ2+7ξ+1),根据柯西积分公式知,).1(,322ifyxl+¢=+,求表示正向圆周设“数学是无穷的科学”——赫尔曼.外尔第三章幂级数展开3学习要求与内容提要目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数4无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。

2、这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么？为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。53.1复数项级数(一)复数项级数1定义设{wn}(n=1,2,…)为一复数列,表达式的称为复数项级数，其中是复数。2部分和级数前面n项的和若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限s即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要

3、介绍。6说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成若复数列{sn}(n=1,2,…,)没有极限,则称级数(3.1)为发散.7的敛散性.0å¥=nnz分析级数例183.复数项级数收敛的条件证因为(1)定理)(11收敛的充要条件级数åå¥=¥=+=nnnnnivuw.11都收敛和åå¥=¥=nnnnvu9说明复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理).11åå¥=¥=nnnnvu都收敛和级数于是10(3)绝对收敛定义若

4、收敛，则称绝对收敛注1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.(2)柯西判据：对于任一小的正数，必存在一N使得n>N时有式中p为任意正整数.注2：级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与都绝对收敛。11解所以原级数发散.例1所以原级数收敛.注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。12（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。由于函

5、数项级数定义在区域B(或曲线l)上，所以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。131.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义：任给ε>0，存在一个与z无关的自然数N(ε)，当n>N(ε)时，对B(或l)上所有z，均有：(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。一致收敛级数的性质性质1：若wk(z)在B内连续，函数级数在B内一致收敛，则和函数w(z)也是B内的连续函数。这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。14性质2：若级数在区域B内的分段光滑曲

6、线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：15绝对一致收敛这是一种特殊形式的常用函数项级数。3.2幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:（一）定义16（二）幂级数的敛散性1.阿贝尔定理如果级数在z0点收敛，那么在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而上一致收敛。如果级数在z1点发散，则在内处处发散。由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。2.求收敛圆半径R的公式绝对收敛是指收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确17(1)比值判别法引入

7、收敛半径定收敛半径R。绝对收敛发散绝对收敛发散则若:级数的柯西判据,所以绝对收敛.18所以收敛半径为注意:幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！（2）当CRz0·R19(2)根式判别法发散所以绝对收敛对应级数绝对收敛则若:20如果:(极限不存在),4.复变幂级数在收敛圆内的性质那么设幂级数的收敛半径为å¥=-00)(kkkzza是收敛圆内的解析函数。(1)å¥=-=0)()(kkkz0zazw它的和函数Rz0z<-21(2)在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即åòò¥=<-Î-=0.,d)(d)(kc

8、kkcRz0zczz0zazzw且可表为连续函数的回路积分。22证明:记CR1上点为，CR1内任一点为z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有界函数相乘后，在CR1上一致收敛23且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导证明:幂级数乘以(3)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,)(zw.)()(11å¥=--=¢kkkz0zkazw即Rz0z<-24故收敛半径例1求幂级数的收敛半径解25解例2求的收敛半径.26例3计算解:和函数275.幂级数的运算与性质在收敛半径R=min(r1,r