3. 幂级数展开

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1、第三章幂级数展开•§3.1复数项级数•§3.2幂级数•§333.3泰勒级数表示•§3.4解析延拓•§3.5洛朗级数展开•§3.6孤立奇点的分类§3.1复数项级数•复数项级数∞1.复级项数定义：形如∑wk=w1+w2+L+wk+L的表k=1达式被称为复数项级数，其中w是复变函数。k2.柯西收敛判据：复数项级数收敛的充分必要条件是，对于任一给定的小正数ε，必存在正整数N，使得n>Nn+p时，

2、∑wk

3、<ε,其中p为任意正整数。k=n+13.绝对收敛：如果复数项级数各项的模组成的级数收敛，则称该复数项级数绝对收敛。∞∑

4、

5、wk

6、=

7、w1

8、+

9、w2

10、+L+

11、wk

12、+Lk=1∞4.一致收敛：复数项级数w1+w2+L+wn+L=∑wnn=1的各向是z的函数,如果在某个区域B上所有的点，级数都收敛,则称级数在区域B上收敛。如果上述柯西判据中的正整数N与z无关，则该复函数项级数在B域上一致收敛。5.绝对一致收敛：如果对于某个区域B上的所有个点，复函数项级数各项的模构成的级数一致收敛，则称该复函数项级数绝对一致收敛。§3.2幂级数∞n•定义：形如∑an(z−z0)的级数被称为以z为中心的幂级0n=1数，其中a是复常数。n•幂级数的收敛半径与

13、收敛圆∞：若存在正数R，使得当

14、z-kz0

15、

16、z-z0

17、>R时，级数k=1发散，则称R为级数的收敛半径，

18、z-z

19、

20、的圆∞CR内解析，则对k于圆内任一点z，函数f(z)可写成f(z)=∑ak(z−z0)k=0CR1f(ζ)1(k)其中ak=∫k+1dζ=f(z0)R2πi(ζ−z)k!C0R'zz0R'–例1.求函数f(z)=ez在z=0点的泰勒级数展开。CR'–例2.求函数f(z)=sinz和f(z)=cosz在z=0点的展开。–例3.求函数f(z)=Lnz在z=1点的Taylor级数展开。–例4.求函数f(z)(1+)=(1+z)n在z=0点的TlTaylor级数展开。（m非整数）•解析函数的一个等价命题：函数f(z)在B

21、内解析的充分必要条件为f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数。§3.4解析延拓•考虑泰勒级数展开：1=1−z2+z4−z6+L21+z•方程右边的级数在R<1的圆内收敛，其和是解析函数，但超出此圆，级数将发散而无意义。另方面另一方面，方程左边在处z=±i的全复平面上解析，它们在R<1的圆内完全相等。因此，方程左边的函数可以视作方程右边的函数的解析延拓。§3.4洛朗级数展开•问题的提出：–当f(z)在圆

22、z-z

23、

24、z-z

25、

26、时，能否展0开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？–我们可以考虑除去奇点的环形区域上的级数展开。R1R2•先考虑含负幂的幂级数（双边幂级数）：−n−2−1L+a(z−z)+L+a(z−z)+a(z−z)−n0−20−102n+a+a(z−z)+a(z−z)+L+a(z−z)+L01020n0∞n≡∑an(z−z0)n=−∞∞n其中∑an(z−z0)被称为双边幂级数的正幂部分。n=0−∞n∑an(z−z0)被称为双边幂级数的负幂部分。n=−1•收敛环的确定：设正幂部分的收敛半径为R；而负幂1部分在变换ζ=1/(z-

27、z)下的级数的收敛半径为1/R，即02其在

28、z-z

29、>R外收敛。如果R

30、z-z

31、

32、z-z

33、

34、z-z

35、

36、状域R<

37、z-z

38、