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1、黎曼猜想1黎曼简介2黎曼ζ函数及黎曼猜想3关于黎曼猜想证明的努力黎曼简介黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶李曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等黎曼生平1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二

2、。1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年祖母去世后，他搬到吕内堡的约翰纽姆。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥根廷大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯的最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。1862年，他与爱丽丝·科赫（EliseKoch）结婚。1

3、866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。黎曼ζ函数黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s=−2,s=−4,s=−6,...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。（非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。）黎曼ζ函数：黎曼ζ函数在临界线Re(s)=1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s)=±14.135,±21.022和±25.011上。黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较

4、图，也就是Re(ζ(s))vs.Im(ζ(s))，沿着临界线s=it+1/2，t由0到34.黎曼猜想的提出黎曼函数非平凡零点的实数部份是½即所有的非平凡零点都应该位于直线½+ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素

5、数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰.恩瑟.李特尔伍德与赛尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。黎曼猜想证明历史黎曼1859年在他的论文ÜberdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGröße'中

6、提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s=½+it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0≤Re(s)≤1中。1896年，雅克.阿达马和CharlesJeandelaVallée-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s)=1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0

7、一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire2003:197;Sabbagh2003:69;Bollobas1986:16).黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。大卫.希尔伯特1914年，高德菲哈罗德哈代证明了有无限个零点在直线Re(s)=½上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（