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1、1第三章至第六章内容提要向量内积内积性质向量长度向量正交正交向量组:非零向量组单位向量n维正交向量组是线性无关向量组,最多有n个向量.内积和正交2正交矩阵:行向量组是单位正交向量组;列向量组是单位正交向量组;线性无关向量组的正交化:若是正交矩阵,则AA的列向量单位正交特征值为3矩阵的相似对角化属于不相等的特征值的各线性无关特征向量组合并成的组是线性无关向量组.n阶矩阵A,非零向量和数满足称为A的属于的特征向量.求特征值和特征向量的过程1.解特征方程2.对于每个特征值求齐次方程组的基础解系.特征值和特征向量
2、4相似矩阵存在可逆矩阵P,使得,则说A相似于B,记作相似关系具有反身性,对称性和传递性.n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.矩阵An相似对角化过程:1.解特征方程得特征值2.对于每个特征值求齐次方程组得基础解系3.如果各组基础解系共有n个向量,以每个特征向量作列向量组成矩阵P,则是特征值组成的对角矩阵.特征多项式相同，特征值相同，迹相同5对称矩阵定义实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.实对称矩阵的特征值的重数等于属于它的线性无关特征向量的
3、个数.实对称矩阵A可以用正交矩阵对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=是A的特征值组成的对角矩阵,特征值重复次数等于其重数.A对称,可逆,则其逆也对称,A,B对称,AB对称充分必要条件,A,B可交换66实对称矩阵的对角化的步骤上面的定理给出实对称矩阵A的对角化的步骤：(2)对于每个ki重特征值求解齐次线性方程组得到它的一个基础解系利用施密特正交化方法把它正交化得再单位化得(1)求特征方程
4、λE－A
5、=0的全部根(3)令则有77定义n个变量的二次齐次函数其中为常数，称为(n元)二次型.合同合同关系具有反
6、身、对称和传递性.实对称矩阵合同于一个对角矩阵88合同对角化方法1.配方法:通过配方求可逆线性替换X=CY,得到D是r个非零元素di构成的对角矩阵.2.正交替换法.惯性定理合同于实对称矩阵A的对角矩阵中正元素个数p仅与A有关.9定义设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A称为正定矩阵.实对称矩阵A正定的充分必要条件是1.其特征值都是正数.2.A的顺序主子式大于零.3.A合同于单位矩阵.4.A的正惯性指数p=n.5.存在可逆矩阵P,使得A=PT
7、P.1010实对称矩阵A半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式非负.11可逆矩阵A：存在矩阵B，使得AB=BA=E.只有零解;对于任意列向量有唯一解;A的行向量组线性无关;A的列向量组线性无关;A的秩等于A的阶;A等于初等矩阵的乘积逆矩阵求法:伴随矩阵初等变换12可逆矩阵的性质1.A可逆,则A-1可逆,(A-1)-1=A,
8、A-1
9、=
10、A
11、-1.2.A可逆,则AT可逆,(AT)-1=(A-1)T.3.A,B可逆,则AB可逆,4.A可逆,c≠0
12、,则5.A可逆，k是整数,则6.A可逆,则A*可逆,并且(A*)-1=
13、A
14、-1A.132.相似关系存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,矩阵的三个关系1.等价关系:A经过初等变换得到B,称A等价于B,记作A≈B.是正交矩阵,第i个列向量是属于的特征向量.143.合同关系,A,B实对称,存在可逆矩阵C,使得C-1AC=B,记作是r阶对角矩阵,对角线元素非零正惯性指数相等.p个r-p个n-r个规范形15等价关系相似关系合同关系A经过初等变换化成B，存在可逆P,Q,B=PAQ存在可逆矩阵P使得B=P-1AP存在
15、可逆矩阵P使得B=PTAP反身，对称，传递反身，对称，传递f是多项式A有n个线性无关特征向量特征值和特征向量反身，对称，传递正(负)惯性指数定义记号不变标准形配方特征值和特征向量矩阵的初等变换初等变换求逆矩阵求法矩阵的三种关系16矩阵相等关系A=BA,B对应元素相等(AB)C=A(BC)AB=C,C列（行）向量是A（B）的列向量线性组合。四种矩阵可逆矩阵正交矩阵实对称矩阵正定矩阵存在B，使得AB=BA=EA-1=ATAT=AX≠O,XTAX>0
16、A
17、≠0,行向量线性无关列向量线性无关r(A)=nAX=O只
18、有零解任意b,AX=b唯一解A是初等矩阵乘积行向量组单位正交列向量组单位正交特征值是实数；属于不同特征值的特征向量正交；有n个正交特征向量顺序主子式为正正惯性指数为n特征值全正A-1可逆，AT可逆，AB可逆，可逆，Ak正交，AB正交，
19、A
20、=±1特征值±1A可逆，A-1对称AB对称A，B可交换Ak正定
