2019年高考数学真题分类汇编18不等式选讲理.doc

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1、2019年高考数学真题分类汇编18不等式选讲理考点一　不等式的性质和绝对值不等式1.(xx广东,9,5分)不等式

2、x-1

3、+

4、x+2

5、≥5的解集为　　　　. 答案　{x

6、x≤-3或x≥2}2.(xx湖南,13,5分)若关于x的不等式

7、ax-2

8、<3的解集为x-

9、2x-1

10、+

11、x+2

12、≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 答案　4.(xx课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解

13、析　(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(xx课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+

14、x-a

15、(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析　(1)证明:由a>0,得f(x)=+

16、x-a

17、≥=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+

18、3-a

19、.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3

20、5得

21、x+1

22、+

23、x-2

24、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解析　(1)因为

25、x+1

26、+

27、x-2

28、≥

29、(x+1)-(x-2)

30、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.7.(xx

31、辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2

32、x-1

33、+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.解析　(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]

34、=x·f(x)=x(1-x)=-≤.考点二　不等式的证明8.(xx江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.证明　因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.9.(xx天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x

35、x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,

36、t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an

37、x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an

38、=-1<0.所以s