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1、第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则函数的求导法则第二章10/8/2021同济高等数学课件解决求导问题的思路:(构造性定义)求导法则其他基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容10/8/2021同济高等数学课件一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.10/8/2021同济高等数学课件此法则可推广到任意有限项的情形.证:设则故结论成立.例如,1
2、0/8/2021同济高等数学课件(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)10/8/2021同济高等数学课件例1.解:10/8/2021同济高等数学课件(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)10/8/2021同济高等数学课件例2.求证证:类似可证:10/8/2021同济高等数学课件二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此10/8/2021同济高等数学课件例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则10/8/2
3、021同济高等数学课件2)设则特别当时,小结:推论3)10/8/2021同济高等数学课件在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,证:在点u可导,故（当时)故有10/8/2021同济高等数学课件例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.10/8/2021同济高等数学课件例4.求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:类似可得10/8/2021同济高等数学课件例5.设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同10/8/2021同济
4、高等数学课件例6.设解:记则(反双曲正弦)其他反双曲函数的导数看参考书自推.的反函数双曲正弦10/8/2021同济高等数学课件四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P95)10/8/2021同济高等数学课件2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数10/8/2021同济高等数学课件例7.求解:例8.设解:求先化简后求导10/8/2021同济高等数学课件例9.求解:关键:搞清复合函
5、数结构由外向内逐层求导10/8/2021同济高等数学课件例10.设求解:10/8/2021同济高等数学课件内容小结求导公式及求导法则(见P95~P96)注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.1.思考与练习对吗?10/8/2021同济高等数学课件2.设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,由于f(a)=0，故10/8/2021同济高等数学课件3.求下列函数的导数解:(1)(2)或10/8/2021同济高等数学课件4.设求解:方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.10/8/2021同
6、济高等数学课件作业P972(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);*12(4),(8);14第三节10/8/2021同济高等数学课件备用题1.设解：2.设解:其中可导,求求10/8/2021同济高等数学课件
