信号与线性系统分析 第二章.ppt

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1、第二章连续系统的时域分析2.1············LTI连续系统的响应2.2············冲激响应和阶跃响应2.3································卷积积分2.4····················卷积积分的性质12.1LTI连续系统的响应一.微分方程的经典解法n阶常系数线性微分方程微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成y(t)=yh(t)+yp(t)齐次解齐次解由齐次微分方程求得y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=02y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=0齐次解是

2、形如Cet函数的线性组合。将Cet代入上式并整理后可得n+an−1n−1+…+a0=0上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程的特征根。yh(t)的函数形式完全由n个特征根i(i=1,2,…n)决定。i可为单根或重根。i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共轭复数的形式出现。3若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解et[Ccos(t)+Dsin(t)]或Aetcos(t+)单共轭复根1,2=j(Cr−1tr−1+Cr−2tr−2+…+C0)etr重实根Cet单实根齐次解yh(t)特征根r重共轭复根4特解特解的函

3、数形式与f(t)的形式有关，以及f(t)与特征根的形式是否相同有关。Pcos(t)+Qsin(t)或Aetcos(t+)cost或sintPet(i)或et[Prtr+Pr−1tr−1+…+P0]etPmtm+Pm−1tm−1+…+P0(i0)或tr[Pmtm+Pm−1tm−1+…+P0]tm特解yp(t)f(t)5f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+

4、6y(t)=f(t)。求：当f(t)=2e−t，t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。解：特征方程为2+5+6=(+2)(+3)=0特征根为−2、−3，微分方程的齐次解yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=2e−t(t0)时，特解为yp(t)=Pe−t6将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得Pe−t+5(−Pe−t)+6Pe−t=2e−t所以P=1，则特解为yp(t)=Pe−t=e−t微分方程的全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+e−t其一阶导数为y'(t)=−2C1e−2t−3C2e−3

5、t−e−t令t=0，并代入初始值y(0)=2、y'(0)=−1得y(0)=C1+C2+1=2y'(0)=−2C1−3C2−1=−1解得C1=3、C2=−2，由此得y(t)=3e−2t−2e−3t+e−tt07线性常系数微分方程求解过程：n阶线性常系数微分方程求特征根得齐次解yh(t)得微分方程解得特解yp(t)确定yp(t)的形式求待定系数P、Q得全解式，根据初始值求待定系数C、D8例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=e−2t，t0；y(0)=1，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当

6、f(t)=e−2t(t0)，其特解为yp(t)=P1te−2t+P0e−2t将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。则特解为yp(t)=te−2t+P0e−2t微分方程的全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+te−2t+P0e−2t=(C1+P0)e−2t+C2e−3t+te−2t=C'1e−2t+C2e−3t+te−2t9其一阶导数为y'(t)=−2C'1e−2t−3C2e−3t+e−2t−2te−2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得y(0)=C'1+C2=1y'(0)=−2C'1−3C2

7、+1=0解得C'1=2、C2=−1，由此得y(t)=2e−2t−e−3t+te−2tt0例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=10cost(t0)，其特解形式为yp(t)=Pcost+Qsint10将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解yp(t)=cost+sint最后可得全解为y(