2018-2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式讲义含解析新人教A版选修4-5.doc

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1、2．基本不等式1．基本不等式的定理1,2定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么≥，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．2．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使≥成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝

2、b.3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥；(2)ab≤；(3)ab≤2；(4)2≤；(5)(a＋b)2≥4ab.利用基本不等式证明不等式[例1]　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.[思路点拨]　解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．[证明]　法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即＋＋≥9.法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋

3、＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴＋＋≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以≥＞0，≥＞0，所以≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．2．已知a，b，c为正实数，求证：(1)≥8；(2)a＋b＋c≥＋＋.证明：(1)∵

4、a，b，c为正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8··＝8abc.即≥8.(2)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2.即a＋b＋c≥＋＋.利用基本不等式求最值[例2]　(1)当x>0时，求f(x)＝的值域；(2)设00，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨]　根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．[

5、解]　(1)∵x>0，∴f(x)＝＝.∵x＋≥2，∴0<≤.∴00.∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∴y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子

6、能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是(　　)A．4　　　　　　　　B．3C．2D．1解析：选D　＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.∴＋≥＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号，故＋的最小值为1.4．

7、设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为(　　)A．2B．3C．4D．log23解析：选B　由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号，所以＋＝log2(ab)≤log28＝3.故max＝3.利用基本不等式解决实际问题[例3]　某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别

8、种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内