2019-2020年高考数学大一轮复习14.2矩阵与变换试题理苏教版.doc

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习14.2矩阵与变换试题理苏教版1．正如矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解∵A2＝＝设α＝，由A2α＝β，得＝∴解得∴α＝.2．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．解　设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有＝，即∴又∵点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1.∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.3．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝.(1)求实数a、b、c、d的值；(

2、2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解　(1)由题设得：解得(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)，由＝，＝，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.4．若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．解　由题意，知M＝，即＝，∴解得∴M＝.由M－1M＝，解得M－1＝.5．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属

3、于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.6．已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解　由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为，当λ1＝2时，由M＝2，可得可令x＝1，得y＝1，∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M＝4，可得取x＝1，得y＝－1，∴α2

4、＝是M的属于λ2＝4的特征向量．7．求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解　设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y)由＝，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以×＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.8．已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1.解　AB＝＝.设(AB)－1＝，则由(AB)·(AB)－1＝，得＝，即＝，所以解得故(AB)－1＝.9．设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3

5、，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.又M＝.∴＝.∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0

6、，∴10．已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果．解(1)关于x轴的反射变换矩阵为M1＝，逆时针旋转90°的变换矩阵为M2＝＝故M＝M2M1＝＝.(2)A′：＝，即A′(0，0)．B′：＝，即B′(0，3)．C′：＝，即C′(2，2)．D′：＝，即D′(2，1)．11．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点

7、(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．解　(1)设M＝，则＝8＝，故因＝，故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为

8、(x′，y′)，则＝，即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.12．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.(