2019-2020年高考数学一轮复习 矩阵与变换 矩阵与变换教案 理 新人教版选修4-2

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1、2019-2020年高考数学一轮复习矩阵与变换矩阵与变换教案理新人教版选修4-2【xx年高考会这样考】1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题．【复习指导】1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算．2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去

2、理解和把握矩阵的几种变换．3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组．基础梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：＝(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等

3、时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．双基自测1．(xx·南通调研测试)曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作

4、用下变换为曲线C2，求C2的方程．解　设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即⇒因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.2．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解　设A＝，由＝，得由＝3＝，得所以所以A＝.3．(xx·苏州调研测试)已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵形A＝(a＞0，b＞0)对应的变换作用下变为椭圆＋＝1，求a，b的值．解　设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应

5、的变换下变为另一个点P′(x′，y′)，则＝，即又因为点P′(x′，y′)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1.由已知条件可知，x2＋y2＝1，所以a2＝9，b2＝4.因为a＞0，b＞0，所以a＝3，b＝2.4．(xx·南京市模拟)已知a＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.解　由条件可知＝λ，所以解得a＝λ＝2.因此A＝.所以A2＝＝.考向一　矩阵与变换【例1】►求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝.[审题视点]先求积MN，再求变换公式．解　MN＝＝.设P

6、(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)，则＝＝，于是x′＝x，y′＝x＋，代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.【训练1】四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C

7、′D′的变换矩阵M.解　该变换为切变变换，设矩阵M为，则＝.所以－k＋2＝0，解得k＝2.所以M为.考向二　矩阵的乘法与逆矩阵【例2】►已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1.[审题视点]求矩阵A＝的逆矩阵，一般是设A－1＝，由＝求得．解　AB＝＝.设(AB)－1＝，则由(AB)·(AB)－1＝，得＝，即＝，所以解得故(AB)－1＝.【训练2】已知矩阵A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵．解　设矩阵A的逆矩阵为A－1＝，则＝＝，解之得，a＝1，b＝－2，c＝0，d＝1，所以A－1＝.同理得，B－1＝.又(AB)－1＝B－1A

8、－1，所以(AB)－1＝＝.考向三　矩阵的特征值与特征向量【例3】►已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[审题视点]f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6.解　(1)由＝，所以2－2a＝－4.所以a＝3.(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为f(