2019-2020年高考数学一轮复习 矩阵与变换 矩阵与变换教案 理 新人教版选修4-2

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1、2019-2020年高考数学一轮复习矩阵与变换矩阵与变换教案理新人教版选修4-2【xx年高考会这样考】1.本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算,考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形,进而研究新图形的性质.2.本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵,主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题.【复习指导】1.认真理解矩阵相等的概念,知道矩阵与矩阵的乘法的意义,并能熟练进行矩阵的乘法运算.2.掌握几种常见的变换,了解其特点及矩阵表示,注意结合图形去

2、理解和把握矩阵的几种变换.3.熟练进行行列式的求值运算,会求矩阵的逆矩阵,并能利用逆矩阵解二元一次方程组.基础梳理1.乘法规则(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则:[a11 a12]=[a11×b11+a12×b21].(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则:=.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:=(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.即(AB)C=A(BC),AB≠BA,由AB=AC不一定能推出B=C.一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等

3、时才能进行乘法运算.2.常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换.3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵;(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1.4.特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.双基自测1.(xx·南通调研测试)曲线C1:x2+2y2=1在矩阵M=的作

4、用下变换为曲线C2,求C2的方程.解 设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P′(x′,y′)为曲线x2+2y2=1上与P对应的点,则=,即⇒因为P′是曲线C1上的点,所以C2的方程为(x-2y)2+2y2=1.2.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A.解 设A=,由=,得由=3=,得所以所以A=.3.(xx·苏州调研测试)已知圆C:x2+y2=1在矩阵形A=(a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆+=1,求a,b的值.解 设P(x,y)为圆C上的任意一点,在矩阵A对应

5、的变换下变为另一个点P′(x′,y′),则=,即又因为点P′(x′,y′)在椭圆+=1上,所以+=1.由已知条件可知,x2+y2=1,所以a2=9,b2=4.因为a>0,b>0,所以a=3,b=2.4.(xx·南京市模拟)已知a=为矩阵A=属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2.解 由条件可知=λ,所以解得a=λ=2.因此A=.所以A2==.考向一 矩阵与变换【例1】►求曲线2x2-2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中M=,N=.[审题视点]先求积MN,再求变换公式.解 MN==.设P

6、(x′,y′)是曲线2x2-2xy+1=0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x,y),则==,于是x′=x,y′=x+,代入2x′2-2x′y′+1=0,得xy=1.所以曲线2x2-2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1.【训练1】四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形,其中点的坐标分别为A(-1,2),B(3,2),C(3,-2),D(-1,-2),A′(-1,0),B′(3,8),C′(3,4),D′(-1,-4),求将四边形ABCD变成四边形A′B′C

7、′D′的变换矩阵M.解 该变换为切变变换,设矩阵M为,则=.所以-k+2=0,解得k=2.所以M为.考向二 矩阵的乘法与逆矩阵【例2】►已知矩阵A=,B=,求(AB)-1.[审题视点]求矩阵A=的逆矩阵,一般是设A-1=,由=求得.解 AB==.设(AB)-1=,则由(AB)·(AB)-1=,得=,即=,所以解得故(AB)-1=.【训练2】已知矩阵A=,B=,求矩阵AB的逆矩阵.解 设矩阵A的逆矩阵为A-1=,则==,解之得,a=1,b=-2,c=0,d=1,所以A-1=.同理得,B-1=.又(AB)-1=B-1A

8、-1,所以(AB)-1==.考向三 矩阵的特征值与特征向量【例3】►已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-4,0),求:(1)实数a的值;(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量.[审题视点]f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6.解 (1)由=,所以2-2a=-4.所以a=3.(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为f(

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